Математическая энциклопедия - штрафных функций метод

метод сведения условно-экстремальных задач к задачам безусловной оптимизации. Проиллюстрировать Ш. ф. м. можно на примере задач математического программирования. Рассматривается задача минимизации функции на множестве из п-мер-ного евклидова пространства. Штрафной функцией, или штрафом (за нарушение ограничений i 1, 2, ..., т), наз. функция зависящая от хи числового параметра обладающая следующими свойствами: если и если Пусть является любой точкой безусловного глобального минимума функции . а X*множеством решений исходной задачи. Функцию выбирают таким образом, чтобы расстояние между точками и множеством X* стремилось к нулю при либо, если это не удается гарантировать, чтобы выполнялось соотношение

В качестве часто выбирают функцию

Выбор конкретного вида функции связан как с проблемой сходимости Ш. ф. м., так и с проблемами, возникающими при решении задачи безусловной минимизации функции

В несколько более общей постановке Ш. ф. м. заключается в сведении задачи минимизации функции на множестве Xк задаче минимизации нек-рой параметрич. функции на множестве более простой структуры, с точки зрения эффективности применения численных методов минимизации, чем исходное множество X.

Имеет место следующий весьма общий результат, иллюстрирующий универсальность Ш. ф. м. Пусть Uи V- рефлексивные банаховы пространства; R -расширенная действительная прямая; -функция, определенная на Uсо значениями в R, слабо полунепрерывная снизу; fi, i= 1,2, ..., т - функции, определенные на Uсо значениями в R, непрерывные в слабой топологии пространства U; hj, j= 1, 2, ..., п- функции, определенные на . со значениями в V, непрерывные в слабых топологиях пространств . и V; множество i = l, 2, ..., т; hj(x) =0, не пусто. Рассматривается задача отыскания таких что

Для функции

при рассматривается задача отыскания таких i = l, 2, . . ., т, что

для всех Если то каждая слабо предельная точка произвольной последовательности является решением задачи (*) т, кроме того,

Лит.:[1] Моисеев Н. Н., ИваниловЮ. П., Столярова Е. М., Методы оптимизации, М., 1978; [2] Васильев Ф. П., Численные методы решения экстремальных задач, М., 1980; [3] Фиакко А. В., Мак-Кормик Г. П., Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации, пер. с англ., М., 1972; [4] Сеа Ж., Оптимизация, пер. с франц., М., 1973.

В. Р. Карманов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985