Математическая энциклопедия - штурма теорема

если

ряд Штурма для отрезка [ а, b], а<b и w(x) - число перемен знака в ряде (*) в точке (значения, равные нулю, не учитываются), то число различных корней функции f(x) на отрезке [ а, b] равно разности w(a) w(b).

Рядом Штурма наз. последовательность действительных функций (*), непрерывных на отрезке [ а,b]и имеющих на этом отрезке конечное число корней, и такая, что

1)

2) на [ а, b],

3) из fk(c)=0 для нек-рого k(0 < k< s) и данного сиз [ а, b]следует

4) из f0 (с)=0 для данного с( а<с<b )следует, что для достаточно малого

Теорема доказана Ш. Штурмом [1], к-рый указал также следующий метод построения ряда Штурма для многочлена f(x) с действительными коэффициентами, не имеющего кратных корней: f0 (х)=f(x), f1(x)=f'(x)и, если уже построены многочлены f0(x), ..., fk(x), то за fk+1(x)надо брать с обратным знаком остаток при делении fk-1(x)на fk(x). При этом fs(x)будет константой, отличной от нуля.

Лит.:[1] Sturm J. Ch., лBull. de Ferussac

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985