Математическая энциклопедия - тактическая конфигурация

t-cxема, -схема на v-множестве S,- система k- подмножеств (блоков) множества Sтакая, что каждое t-подмножество элементов из Sвстречается точно в блоках. Класс 2-схем совпадает с классом уравновешенных неполных блок-схем. Иногда Т. к. наз. также инцидентности система, в к-рой каждое множество инцидентно в точности kэлементам, а любой элемент инцидентен в точности r множествам. Т. к. при t=k наз. тривиальной. Если Т. к. нетривиальна, то

Каждая t-схема есть s-схема при любом Число появлений произвольного s-подмножества в блоках t-схемы дается формулой

Условия целостности необходимые условия существования Т. к. В частности, при каждая Т. к. есть уравновешенная неполная блок-схема.

Центральным вопросом для Т. к. является проблема их существования и построения. Долгое время для t>3 были известны лишь отдельные примеры, в частности 5-(12, 6, 1) и 5-(24, 8,1) схемы, связанные с пятикратно транзитивными группами Матьё M12 и M24 соответственно. Однако в 60-х гг. 20 в. была открыта связь Т. к. с теорией кодирования (см., напр., [3], [41) и указан способ построения Т. к., исходя из векторов с vненулевыми координатами, принадлежащих линейному ( п, k )-коду, к-рый представляет собой k-мерное векторное подпространство в n-мерном пространстве над конечным полем (см. [5], [7]).

Известно, что t-кратно транзитивные группы, отличные от симметрической и знакопеременной, приводят к нетривиальным t-схемам; это дает несколько бесконечных серий 3-схем. С помощью теоретико-групповых и геометрич. соображений были построены также бесконечные классы 4и 5-схем (см., напр., [6]).

Для числа b блоков в t-схеме справедливо неравенство

обобщающее неравенство Фишера для уравновешенных неполных блок-схем. При равенстве в (*) Т. к. наз. плотной. Плотные Т. к. обобщают симметричные 2-схемы; в частности, при t=2. множество чисел пересечений блоков плотной Т. к. содержит в точности s различных элементов. Для существования плотной 4-схемы необходимо, чтобы

(v3) | 2 (k1) (k -2) и

Плотные 3-схемы адамаровы, т. е. суть 3-(4n, 2 п, п-1)-схемы, а при нетривиальных плотных (2s+1)-схeм не существует. Из данной -схемы можно построить три других Т. к.: а) беря дополнения в Sдля каждого блока, б) удаляя какой-либо элемент и все блоки, его содержащие, в) беря блоки, содержащие какой-либо элемент, и удаляя его из них. Полученные Т. к. наз. соответственно дополнительной, остаточной и производной по отношению к исходной Т. к.; они суть соответственно: -схема с

-схема с

и -схема.

Лит.:[1] Dеmbоwski P., Finite geometries, В.-N. Y., 1968; [2] Ray-Chaudhuri D. K., Wi1sоn R. M., лOsaka J. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985