Математическая энциклопедия - типично вещественная функция

в области Вфункция f(z), аналитическая в нек-рой области Вплоскости z, содержащей отрезки вещественной оси, если она вещественна на этих отрезках и Im f(z)x Im z>0 при Основной класс Т. в. ф.класс Тфункций

регулярных и типично вещественных в круге |z|<l (см. [1]). Из определения класса Тследует, что с п, вещественны. Класс Тсодержит класс Sr функций

с вещественными коэффициентами с п, регулярных и однолистных в |z|<l. Если то

и, обратно, если то

где С r - класс функций

регулярных в в |z |<1, и таких, что

вещественны.

Пусть М 1 класс функций неубывающих на [-1, 1] и таких, что Класс Тпредставим в |z|<l интегралом Стилтьеса (см. [2]):

в том смысле, что для каждой функции найдется функция такая, что справедлива формула (1), и, обратно, какую бы ни взять, формула (1) определяет нек-рую функцию при любом фиксированном Наибольшей областью, в к-рой все функции класса Тоднолистны, является Исходя из представления (1) на классе Тбыл получен ряд теорем искажения и вращения (см. Искажения теоремы, Вращения теоремы). Для класса Тсправедливы точные оценки:

если nнечетно

знак равенства в (2) слева достигается только для s(z, -1), справа только для s(z, 1), в (3) слева только для функций при нек-ром справа только для

На классе Тнайдены области значений систем {с 2, c3, .. ., с n}, {f(z)}, {f(z), с 2, с 3, . . ., с п}, (см. [3], с. 589-90).

Лит.:[1] Rogosinski W., лMath. Z.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985