Математическая энциклопедия - вкб-метод

асимптотический метод Вентцеля Крамерса Бриллюэна (и Джефриса) решения обыкновенных дифференциальных уравнений вида

с малым параметром при старшей производной.

Для построения приближенных решений волнового уравнения Шрёдингера в квантовой механике этот метод был введен в 1926 Л. Брпллюэном (L. Brillouin), Г. Вентцелем (G. Wentzel) и X. Крамерсом (Н. Кга-mers), а также X. Джефрисом (Н. Jeffreys) (подробный историч. очерк н библиографию см. в [5], [6]). Для ВКБ -м. используются и другие названия: "приближение ЛиувилляГрина", "метод фазового интеграла", "квазиклассическое приближение", а также любые комбинации из букв W, К, В (и J).

Пусть при или при . Тогда существуют решения уравнения (1) такие, что при равномерно по

причем

Главный член асимптотич. разложения (2) обычно наз. ВКБ-приближением.

Пусть предыдущие условия на q(t).выполнены и

Тогда существуют решения уравнения (1) такие, что , достаточно мало, и Точка t0 наз. точкой поворота уравнения (1), если ВКБ-приближение непригодно в точках поворота. Были получены асимптотич. формулы, справедливые в окрестностях точек поворота (см. [1], [4]). Главный член асимптотики выражается через бесселевы функции.

В ряде задач (задача на собственные значения, задача о рассеянии) для уравнения (1) требуется знать асимптотику решений только на концах интервала, т. е. не нужно находить асимптотику в точках поворота. Если q(t) - аналптич. функция, то можно, вообще говоря, продолжить ВКБ-формулы с одного конца интервала I на другой через комплексную плоскость (строгое обоснование дано в [2]). Для целых функций оказывается, что ВКВ-приближенне (2) пригодно в нек-рых областях комплексной плоскости С (f), ограниченных линиями Стокса (т. е. линиями уровня проходящими через точки поворота). Получены асимптотич. формулы для фундаментальной системы решений уравнения (1), пригодные во всей комплексной плоскости, за исключением окрестностей точек поворота (см. [2]).

О ВКБ-приближенин для уравнений с частными производными см. [5], [6], [8] [10].

Лит.:[1] Вазов В., Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1968; [2] Евграфов М. А., Федорюк М. В., "Успехи матем. наук", 1966. т. 21, № 1, с. 3-50; [3] Федорюк М. В., Добавление к книге В. Вазона [1], с. 406-33; [4] Дородницын А. А., "Успехи матем. наук", 1952, т. 7, № 6, с. 3-96; [5] Xединг Д ж., Введение в метод фазовых интегралов (Метод ВКБ), пер. с англ., М., 1965; [6] Фрёман Н., Фрёман П. У., ВКБ-приблишение, пер. с англ., М., 1967; [7] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 2 изд., М., 1963; [8] Маcлов В. П., Теория возмущений и асимптотические методы, М., 1965; [9] его же, Операторные методы, М., 1973; [10] Маслов В. П., Федорюк М. В., Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М., 1976.

М. В. Федорюк.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985