Математическая энциклопедия - включение методов суммирования

включение суммируемости полей, соответствующих этим методам. Если Ан В - два метода суммирования, определенные на множестве Мрядов (или последовательностей), и их поля суммируемости и , то говорят, что метод Bвключает метод Аи обозначают символом . Методы А п В наз. равносильными и обозначают , если каждый из них включает другой. Равносильные методы имеют одно и то же поле суммируемости. Метод В сильнее метода А, если Ввключает А, но не равносилен ему. Если поле суммируемости метода совпадает с множеством всех сходящихся рядов, то метод наз. равносильным сходимости. Иногда рассматривают В. м. с. не на всем множестве их определения, а лишь на некотором его подмножестве.

Для Чезаро методов суммирования имеет место включение при Абеля метод суммирования сильнее всей совокупности методов Чезаро при Рисса метод суммирования равносилен Чезаро методу суммирования Абеля метод суммирования равносилен сходимости на множестве рядов, члены к-рых удовлетворяют условию . В приведенных примерах методы суммирования являются одновременно п совместными (см. Совместность методов суммирования], хотя в общем в случае В. м. с. не предполагает их совместности. Однако, если Аи Врегулярные матричные методы н на множестве ограниченных последовательностей, то Аи Всовместны на этом множестве (теорема Мазура Орлпча Брудно). В литературных источниках иногда требование совместности методов налагают при самом определении включения.

В. м. с., определенных на множестве рядов с действительными членами, наз. полным, если включение полей суммируемости сохраняется и при пополнении их рядами, суммируемыми к и . Напр., Г'ёлъдера метод суммирования( Н, k).вполне включает метод Чезаро ( С, k).

В. м. с. для специальных видов суммируемости (напр., для абсолютной суммируемости, сильной суммируемости и др.) определяется аналогичным образом.

Лит.:[1] Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [2] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [3] Кан Г. Ф., Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 5-70; [4] Мazur S., Orlicz W., "С. г. Acad. sci.", 1933, t. 196, p. 32-4; [5] Брудно А. Л., "Матем. сб.", 1945, т. 16, с. 191-247; [6] Барон С., Введение в теорию суммируемости рядов, Тарту, 1966. И. И. Волков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985