Математическая энциклопедия - внешняя мера

неотрицательная функция множества, обозначаемая , заданная на счетно аддитивном классе множеств, содержащем вместе с множеством любое его подмножество и обладающая свойствами: монотонности, т. е.

счетной полуаддитивности, т. е.

, где пустое множество.

В. м., заданная на всех подмножествах метрич. пространства, наз. В. м. в смысле Каратеодори, или метрической В. м., если

как только где расстояние между множествами Xи Y. По данной В. м. может быть выделен класс измеримых множеств, на к-рых становится мерой.

В. м., в частности, возникают при построении продолжения меры с кольца Rна порожденное им а-кольцо.

В классич. теории Лебега меры (см. [1]) внешняя мера множества определяется как нижняя грань мер открытых множеств, содержащих данное множество, а внутренняя мера множества как верхняя грань мер замкнутых множеств, содержащихся в заданном множестве.

Лит.:[1] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; [2] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; [3] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953. В. А. Скворцов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985