Математическая энциклопедия - вычет

аналитической функции f(z) одного комплексного переменного в конечной изолированной особой точке аоднозначного характера коэффициент при в разложении Лорана функции f(z) (см. Лорана ряд).в окрестности точки а, или равный ему интеграл

где окружность достаточно малого радиуса с центром в точке а. В. обозначается (либо Выч. ).

Теория вычетов опирается на Коши интегральную теорему. Основной в теории В. является следующая теорема о вычетах. Пусть /(z) однозначная аналитич. функция всюду в односвяз-ной области G, кроме изолированных особых точек; тогда интеграл от f(z) по любой простой замкнутой спрямляемой кривой g, лежащей в области G и не проходящей через особые точки функции f(z), вычисляется но формуле

где особые точки функции , попавшие внутрь .

Вычет функции в бесконечно удаленной точке для функции , однозначной и аналитической в окрестности этой точки, определяется формулой

где окружность достаточно большого радиуса, ориентированная по часовой стрелке, а коэффициент при в разложении Лорана функции в окрестности этой точки.

Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если f(z)однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функции , включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю.

Таким образом, вычисление интегралов от аналитич. функций по замкнутым кривым (контурных интегралов) сводится к вычислению В., к-рые находятся особенно просто в случае конечных полюсов. Пусть полюс порядка тфункции , тогда

При m=1 (простой полюс) эта формула принимает вид

если регулярны в окрестности точки а, причем для точка аесть простой нуль, то

.

Применение теоремы о В. к логарифмич. производной приводит к важной теореме о логарифмическом вычете: если функция мероморфна в односвязной области G, а простая замкнутая кривая лежит в Gи не проходит через нули и полюсы функции , то

где N - число нулей, Р - число полюсов функции внутри с учетом их кратностей. Выражение в левой части этой формулы наз. логарифмическим вычетом функции относительно кривой (см. также Аргумента принцип).

В. применяются к вычислению нек-рых определенных интегралов от действительных функций, таких, напр., как

где -рациональная функция от непрерывная при непрерывная функция при где мнимая часть z, и аналитическая при кроме конечного числа особых точек. При этом подстановкой сводится к контурному интегралу

т. е. к вычислению В.;

если

если f (z) удовлетворяет условиям Жордана леммы.

В. находят многочисленные и важные применения в вопросах аналитич. родолжения, разложения мероморфных функций на простейшие дроби, суммирования степенных рядов, асимптотич. оценок и во многих др. вопросах анализа и его приложений (см. |1] [4]).

Теория В. одного переменного разработана в основном О. Коши (A. Cauchy) в 1825 29. Ряд результатов, относящихся к обобщениям теории В. и ее приложениям, был получен Ш. Эрмитом (Ch. Hermite, теорема о сумме В. двоякопериодической функции), П. Лораном (P. Laurent), Ю. В. Сохоцким, Э. Линделёфом и др.

На римановой поверхности рассматриваются В. не аналитич. функций, а аналитических дифференциалов (см. [5]). Вычет аналитического дифференциала в окрестности его изолированной особой точки определяется как коэффициент при в разложении Лорана функции где униформизирующий параметр в окрестности этой точки. При этом интеграл от dZ но любой замкнутой кривой на римановой поверхности выражается через В. дифференциала dZ и через его циклические периоды (интегралы от dZ по каноническим разрезам]. На рпмановы поверхности распространяется теорема о полной сумме В.: сумма всех В. мероморфного дифференциала на компактной римановой поверхности равна нулю.

Теория вычетов аналитических функций многих комплексных переменных базируется на интегральных теоремах Стокса и Коши Пуанкаре, позволяющих заменять интеграл от замкнутой формы по одному циклу интегралом от этой формы по другому циклу, гомологичному первому. Начало теории В. функции многих переменных положил А. Пуанкаре [6], к-рый в 1887 впервые обобщил интегральную теорему Коши и понятие В. на функции двух комплексных переменных, показав, в частности, что интеграл от рациональной функции двух комплексных переменных по двумерному циклу, не проходящему через особенности подинтегральной функции, сводится к периодам абелевых интегралов, и применил двойные В. для обоснования двумерного аналога Лагранжа ряда.