Математическая энциклопедия - зигеля метод

метод исследования арифметич. свойств значений в алгебраич. точках E-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из C(z); был предложен К. Зигелем [1].

Целая функция

наз. Е-ф ункцией, если все коэффициенты с п принадлежат нек-рому алгебраич. полю конечной степени, причем для каждого e>0 максимум модулей, сопряженных с с n, есть О( п ^гп )и существует последовательность целых рациональных чисел qn=О(n^en) таких, что qnck есть целое алгебраич. число для k=0,1, ..., п. Таковы, напр., е ^z, sin z, функция Бесселя J0(z).

Пусть [a, 0]=1, а [a, п]=(a+п-1) [a, п-1], n=1, 2, ... Если a1, ... , al и b1, ..., b трациональные числа, bk неравно -1, -2, ... и т-l=t>0, то функция

является E-функцией; она удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению порядка тс коэффициентами из C(z).

Основной результат К. Зигеля относится к значениям функции

где J(z) функция Бесселя. Если Xрациональное число,то при любом алгебраическом числа Кl(a). и К'l(a). алгебраически независимы над Q.

В 1949 К. Зигель придал своему методу общую форму, однако условия, к-рым должны были удовлетворять E-функции f1(z), ..., fm(z)для того, чтобы можно было утверждать, что их значения алгебраически независимы, оказались очень трудно проверяемыми. И это не позволило установить какие-либо новые конкретные результаты.

Дальнейшее развитие и обобщение 3. м. получил в работах А. Б. Шидловского (см. [2] [3]): пусть совокупность E-функций f1(z), ..., fm(z)является решением системы дифференциальных уравнений

и алгебраич. число a. отлично от нуля и особых точек системы (1); тогда, для того чтобы тчисел f1(a), ..., fm(a). были алгебраически независимы над полем Q, необходимо и достаточно, чтобы функции f1(z), ..., fm(z) были алгебраически независимы над C(z). Из этой теоремы, в частности, следует трансцендентность всех чисел fk(a), если f1(z), ..., fm(z)алгебраически независимы, а также трансцендентность отличных от нуля и полюсов системы (1) А-точек функций fk(z)при алгебраическом А;она позволила получить многочисленные результаты, относящиеся к конкретным Е- функциям, доказать алгебраич. независимость значений E-функций, удовлетворяющих линейным однородным и неоднородным дифференциальным уравнениям порядка большего двух. Напр., для функции

удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению порядка кс коэффициентами из C(z), справедливо следующее утверждение: при любом алгебраическом r(r-1)/2 чисел 1=0,.1, ..., k-1, k=1,2, ..., r алгебраически независимы над Q.

При тех же условиях максимальное количество алгебраически независимых над Qчисел среди f1 (а), . . ., fm(a) равно максимальному количеству алгебраически независимых над С (z) функций среди f1(z),..., fm(z). Если f1(z), .. ., fl(z)алгебраически независимые над С (z) E -функции, удовлетворяющие системе (1), то для всех, кроме конечного числа, точек а числа f1(a), ..., fl(a)алгебраически независимы над Q. В каждом конкретном случае исключительные точки могут быть определены.

Этими теоремами решаются, по существу, все задачи общего характера о трансцендентности и алгебраич. независимости значений E-функций в алгебраических точках.

3. м. позволяет оценивать меру алгебраич. независимости чисел f1(a), ..., fm(a), придав тем самым результатам количественную форму. Если функции f1(z), ..., fm{z )алгебраически независимы, то Ф(f1(a), ..., fm(a); где С>0 не зависит от H, а у >0 зависит только от ти степени алгебраич. числа а.

Лит.:[1] Siegе 1 С. L., "Abhandl. Dtsch. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl.", 1929, № 1, p. 1-41; [2] Шидловский А. Б., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1959, т. 23, №1, с. 35-66; [3] его же, там же, 1962, т. 26, № 6, с. 877-910; [4] его же, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1973, т. 132, с. 169-202; [5] Lang S., "Mathem.", 1962, v. 9, с. 157-61; [6] Фельдман Н. И., Шидловский А. Б.", "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 3, с. 1-81.

Ю. В. Нестеренпо.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985