Физическая энциклопедия - квантовая теория поля

(КТП), релятивистская квант. теория физ. систем с бесконечным числом степеней свободы. Пример такой системы эл.-магн. поле, для полного описания к-рого в любой момент времени требуется задание напряжённостей электрич. и магн. полей в каждой точке пр-ва, т. е. задание бесконечного числа величин. В отличие от этого, положение ч-цы в каждый момент времени определяется заданием трёх её координат.

Квантовая механика значительно сблизила эти два объекта ч-цы и поля. Согласно квант. механике, эл.-магн. излучение порождается и поглощается дискр. порциями квантами, или фотонами, к-рые, как и ч-цы, имеют определённую энергию ? =hn и импульс р=h/l, где n и l частота и длина волны излучения. С другой стороны, с каждой ч-цей сопоставляется волновая функция y(r, t) и полное описание ч-цы требует задания величины y в любой точке пр-ва в каждый момент времени, при этом ч-це приписываются волн. св-ва: частота n=?/h и дл. волны l=p/h, где ? и р энергия и импульс ч-цы. Рождаться и исчезать могут не только фотоны. Одно из самых общих св-в микромира универсальная взаимная превращаемость ч-ц. Так, фотон может породить пару электрон-позитрон; при столкновении протонов и нейтронов могут рождаться p-мезоны; p-мезон распадается на мюон и нейтрино и т. д. Для описания такого рода процессов потребовался переход к квантовому волн. полю y(r, t), т. е. построение квант. теории систем с бесконечным числом степеней свободы, получившей назв. КТП. Поясним этот переход с помощью механич. аналогии. Представим, что всё пр-во заполнено связанными между собой осцилляторами.

Такая система имеет бесконечно большое число степеней свободы, и её можно рассматривать как поле. Связи между осцилляторами приводят к тому, что в системе могут возникать коллективные колебания, к-рые характеризуются своими собств. частотами, а по системе могут распространяться волны соответствующих колебаний.

При переходе к квантовой механике коллективные колебания квантуются, а возникающие при этом кванты могут рассматриваться как частицы, обладающие, как и волны, энергией и импульсом (следовательно, и нек-рой массой). Очевидно, что эти ч-цы кванты возбуждения системы нельзя ассоциировать с отд. исходными осцилляторами, находящимися в фиксиров.

точках пр-ва. Они представляют собой результат процесса, захватывающего всю систему в целом, и описывают нек-рые возбуждения поля. Т. о., изучение поля можно свести к рассмотрению квантованных волн (или ч-ц) возбуждений, их рождения и поглощения. Строго говоря, свободное квант. поле может быть представлено как подобная бесконечная совокупность осцилляторов, заполняющих не обычное, координатное, а 3-мерное импульсное пр-во.

Описанная механич. система, однако, реализуется, напр., в теории кристаллов, где число степеней свободы конечно и можно ограничиться нерелятив. приближением. КТП с необходимостью должна быть релятивистской теорией. Действительно, теория относительности устанавливает связь между энергией ?, импульсом р и массой m ч-цы: Из (1) видно, что мин.

энергия (энергия покоя ч-цы), необходимая для образования ч-цы данной массы, равна mc2. Если система состоит из медленно движущихся ч-ц, то их энергия может оказаться недостаточной для образования новых ч-ц ненулевой массы. В такой нерелятив. системе число ч-ц неизменно. Ч-цы же с нулевой массой покоя (фотон, возможно нейтрино) всегда релятивистские, т.

е. всегда движутся со скоростью света. Квантование поля. Метод квантования систем с перем. числом ч-ц (вторичное квантование) был предложен в 1927 англ. физиком П. Дираком и получил дальнейшее развитие в работах В. А. Фока (1932). Осн. его черта введение операторов, описывающих рождение и уничтожение ч-ц. Поясним их действие на примере одинаковых (тождественных) ч-ц, находящихся в одном и том же состоянии (напр.

, все фотоны считаются имеющими одинаковые частоту, направление распространения и поляризацию). В квант. теории состояние системы ч-ц описывается волн. ф-цией или вектором состояния. Введём для описания состояния с N ч-цами вектор состояния yN. Квадрат его модуля |yN|2, определяющий вероятность данного состояния, равен единице, т. к.

N достоверно известно. Введём операторы уничтожения и рождения ч-цы: аи а+. По определению, а= переводит состояние с N ч-цами в состояние с N-1 ч-цами: Аналогично оператор рождения ч-цы а* переводит состояние с N ч-цами в состояние с N+1 ч-цами: (множители ?N и ?(N+1) вводят для выполнения условия нормировки |yN|2=1).

В частности, при N=0 а+y0=y1, где y0 вектор, характеризующий вакуумное состояние, т. е. состояние с нулевым числом ч-ц и мин. энергией. Т. о., одночастичное состояние получается в результате рождения из вакуума одной ч-цы, Поскольку невозможно уничтожить ч-цу в состоянии, в к-ром ч-ц нет, то a-y0=0. Это равенство можно считать определением вакуума.

Особое значение вакуумного вектора состояния состоит в том, что из него действием оператора а+ можно получить вектор любого состояния: Порядок действия аи а+ не безразличен. Так, т. е. операторы а-, а+ явл. непереставимыми (некоммутирующими). Соотношения типа (6), устанавливающие связь между действием двух операторов, взятых в разл.

порядке, наз. коммутационными или перестановочными соотношениями. Если учесть, что ч-цы могут находиться в разл. состояниях, то следует дополнительно указывать, к какому состоянию относятся операторы рождения и уничтожения (т. е. квант. числа состояния энергию, спин и др.). Для простоты обозначим всю совокупность квант.

чисел, определяющих состояние, индексом га; тогда а+т(а-т) обозначает оператор рождения (уничтожения) ч-цы в состоянии с набором квант. чисел n. Числа ч-ц, находящихся в состояниях, соответствующих разл. n, наз. числами заполнения этих состояний, а задание вектора состояния в форме, фиксирующей числа заполнения всех возможных состояний системы,представлением чисел заполнения.

Если n?m, то a-na+my0=0, поскольку невозможно уничтожение ч-ц в таких состояниях, к-рых нет в системе. С учётом этого перестановочные соотношения имеют вид: где dnm символ Кронекера: dnm=1 при n=m и dnm=0 при n?m. Из а+n и a-n можно построить играющий важную роль оператор числа ч-ц: N .