Физическая энциклопедия - квантовая механика

(волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч-ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч-цы и системы, с физ. величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. Законы К. м. составляют фундамент изучения строения в-ва. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу хим.

связи, объяснить периодич. систему элементов, понять строение ат. ядер, изучать св-ва элем. ч-ц. Поскольку св-ва макроскопич. тел определяются движением и вз-ствием ч-ц, из к-рых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания большинства макроскопич. явлений. К. м. позволила, напр., объяснить температурную зависимость теплоёмкостей газов и тв.

тел и вычислить их величину, определить строение и понять мн. св-ва тв. тел (металлов, диэлектриков, ПП). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофиз. объектов, как белые карлики, нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звёздах. Существуют также явления (напр., (см. ДЖОЗЕФСОНА ЭФФЕКТ)), в к-рых законы К.

м. непосредственно проявляются в поведении макроскопич. объектов. Ряд крупнейших техн. достижений 20 в. основан по существу на специфич. законах К. м. Так, квантовомеханич. законы лежат в основе работы яд. реакторов, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термояд. реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и ПП, используемых в новейшей технике, и т.

д. Фундамент квантовой электроники составляет квантовомеханич. теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправл. поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., К. м. стала в значит. мере «инженерной» наукой, знание к-рой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

Место К. м. среди других наук о движении. В нач. 20 в. выяснилось, что классич. механика Ньютона имеет огранич. область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она неприменима при скоростях движения тел, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятив. механика, построенная на основе спец.

теории относительности Эйнштейна (см. ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ). Релятив. механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. (Ниже термин «классич. механика» будет объединять Ньютонову и релятив. механику.) Для классич. механики в целом характерно описание ч-ц путём задания их положения в пр-ве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени.

Такому описанию соответствует движение ч-ц но вполне определ. траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для ч-ц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения даёт К. м., к-рая включает в себя, как частный случай, классич.

механику. К. м. делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям спец. теории относительности. В статье изложены основы нерелятив. К. м. (однако нек-рые общие положения относятся к квант. теории в целом). Нерелятив. К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей компетентности количественно решать в принципе любую физ.

задачу. Релятив. К. м. не явл. в такой степени завершённой и свободной от противоречий теорией. Если в нерелятив. области можно считать, что движение определяется силами, действующими (мгновенно) на расстоянии, то в релятив. области это несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, вз-ствие передаётся (распространяется) с кон.

скоростью, должен существовать физ. агент, переносящий вз-ствие; таким агентом явл. физ. поле. Трудности релятив. теории это трудности теории поля, с к-рыми встречается как релятив. классич. механика, так и релятив. К. м. В статье не будут рассматриваться вопросы релятив. К. м., связанные с квантовой теорией поля. Соотношение между классической и К.

м. определяется существованием универсальной мировой постояннойпостоянной Планка h (или h=h/2p). Постоянная h, наз. также квантом действия, имеет размерность действия и равна: h»6,62•10-27 эрг•с h=1,05•10-27 эрг•с). Если в условиях данной задачи физ. величины размерности действия значительно больше h (так что h можно считать очень малой величиной), применима классич.

механика. Формально это условие и явл. критерием применимости классической механики. Более подробно этот критерий будет разъяснён при изложении физических основ К. м. История создания К. м. В нач. 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости механики Ньютона и классич.

электродинамики к процессам вз-ствия света с в-вом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света дуализмом света (см. ниже); вторая с невозможностью объяснить на основе классич. представлений существование устойчивых атомов, а также их оптич. спектры.

Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счёте, к открытию законов К. ж. Впервые квант. представления (в т. ч. h) были введены в 1900 нем. физиком М. Планком в работе, посвящённой теории теплового излучения тел (см. ПЛАНКА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классич.

электродинамики и статистич. физики, приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамич.) равновесие между излучением и в-вом не может быть достигнуто, т. к. вся энергия должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, предположив, что свет испускается не непрерывно (как это следовало из классич. теории излучения), а определёнными дискр. порциями энергии квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света v и равна: ?=hn. От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся к 1927 окончат. формулировкой К. м. в двух её формах. Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в к-рой была дана теория фотоэффекта. Развивая идею Планка, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, т.

е. что дискретность присуща самому свету: свет состоит из отд. порций световых квантов, названных позднее фотонами. Энергия фотона ?=hn. На основании этой гипотезы Эйнштейн объяснил установленные на опыте закономерности фотоэффекта, к-рые противоречили классической (базирующейся на классич. электродинамике) теории света. Дальнейшее доказательство корпускулярного хар-ра света было получено в 1922 амер.

физиком А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными эл-нами происходит по законам упругого столкновения двух ч-ц фотона и эл-на (см. КОМПТОНА ЭФФЕКТ). Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причём фотону наряду с энергией ?=hn следует приписать импульс p=h/l= hn/c, где l длина световой волны. Энергия и импульс фотона связаны соотношением ?=ср, справедливым в релятив. механике для ч-цы с нулевой массой покоя. Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волн. св-вами (проявляющимися, напр.

, в дифракции света) свет обладает и корпускулярными св-вами: он состоит как бы из ч-ц фотонов. В этом проявляется дуализм света, его корпускулярно-волн. природа. Дуализм содержится уже в ф-ле ?=hn, не позволяющей выбрать к.-л. одну из двух концепций: энергия ? относится к ч-це, а частота n явл. хар-кой волны. Возникло формальное логич. противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волн.

природу, а для объяснения других корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физ. основ К. м. В 1924 франц. физик Л: де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 дат. физиком Н. Бором условиям квантования ат. орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма.

Согласно де Бройлю, каждой ч-це, независимо от её природы, следует поставить в соответствие волну, длина к-рой l связана с импульсом ч-цы р соотношением: l=h/p. (1) По этой гипотезе не только фотоны, но и все «обыкновенные ч-цы» (эл-ны, протоны и др.) обладают волн. св-ва ми, к-рые, в частности, должны проявляться в дифракции ч-ц. В 1927 амер.

физики К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию эл-нов. Позднее волн. св-ва были обнаружены и у др. ч-ц, и справедливость ф-лы де Бройля была подтверждена экспериментально (см. ДИФРАКЦИЯ МИКРОЧАСТИЦ). В 1926 австр. физик Э. Шредингер предложил ур-ние, описывающее поведение таких «волн» во внеш. силовых полях. Так возникла волновая механика.

Волн. ур-ние Шредингера явл. основным ур-нием нерелятив. К. м. В 1928 англ. физик П. Дирак сформулировал релятив. ур-ние, описывающее движение эл-на во внеш. силовом поле; Дирака уравнение стало одним из осн. ур-ний релятив. К. м. Вторая линия развития (также являющаяся обобщением гипотезы Планка) начинается с работы Эйнштейна (1907), посвящённой теории теплоёмкости тв.

тел. Эл.-магн. излучение, представляющее собой набор эл.-магн. волн разл. частот, динамически эквивалентно нек-рому набору осцилляторов. Испускание или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что испускание и поглощение эл.-магн. излучения в-вом происходят квантами с энергией hn, можно выразить так: осциллятор поля не может обладать произвольной энергией, он может иметь только определ. значения энергии дискр. уровни энергии, расстояние между к-рыми равно hn. Эйнштейн обобщил идею квантования энергии осциллятора эл.-магн. поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение тв.

тел сводится к колебаниям атомов, то и тв. тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантованна, т. е. разность соседних уровней энергии должна равняться hn, где n частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем, М. Борном и Т. Карманом (Германия), сыграла выдающуюся роль в развитии теории тв.

тел. В 1913 Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель к-рого вытекала из результатов опытов англ. физика Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряж. ядро, в к-ром сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряж. эл-ны. Рассмотрение такого движения на основе классич. представлений приводило к парадоксальному результату невозможности существования стабильных атомов: согласно классич. электродинамике, эл-н не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрич.

заряд должен излучать эл.-магн. волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен непрерывно уменьшаться, и за время = 10-8 с эл-н должен упасть на ядро. Это означало, что законы классич. физики неприменимы к движению эл-нов в атоме, т. к. атомы не только существуют, но и весьма устойчивы.

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения эл-на в электрич. поле ат. ядра, реально осуществляются лишь те, к-рые удовлетворяют определ. условиям квантования, требующим, чтобы величина действия для классич. орбиты была целым кратным постоянной Планка h.

Бор постулировал, что, совершая допускаемое условиями квантования орбит. движение (т. е. находясь на определ. уровне энергии), эл-н не испускает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе эл-на с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии ?i на другой, с меньшей энергией ?k при этом рождается квант света с энергией hn=?i-?k.

(2) Так возникает линейчатый спектр атома. Бор получил правильную ф-лу для частот спектр. линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирич. ф-л (см. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ). Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка Герца опытами (1913-14). Т. о., Бор, используя квант.

постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение эл-нов в атоме, законы к-рого существенно отличаются от законов классич. механики. Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпускулярно-волн. дуализма. Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квант. теории, был достигнут за счёт нарушения логич.

цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой привлекались чуждые ей искусств. правила квантования, к тому же противоречащие классич. электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение эл-нов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение связи между атомами, приводящей к образованию молекулы, и др.

«Полуклассич.» теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется эл-н при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что движение эл-нов в атоме нельзя описывать в терминах (понятиях) классич. механики (как движение по определ. траектории, или орбите), что вопрос о движении эл-на между уровнями несовместим с хар-ром законов, определяющих поведение эл-нов в атоме, и что необходима новая теория, в к-рую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома.

В 1925 нем. физик В. Гейзенберг построил такую формальную схему, в к-рой вместо координат и скоростей эл-на фигурировали некие абстрактные алгебр. величины матрицы; связь матриц с наблюдаемыми величинами (уровнями энергии и интенсивностями квант. переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита Борном и П.

Иорданом (Германия). Так возникла матричная механика. Вскоре после появления ур-ния Шредингера была показана матем. эквивалентность волновой (основанной на ур-нии Шредингера) и матричной механики. В 1926 Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже). Большую роль в создании К. м. сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени.

Окончат. формирование К. м. как последоват. теории с ясными физ. основами и стройным матем. аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в к-рой было сформулировано неопределённостей соотношение важнейшее соотношение, освещающее физ. смысл ур-ний К. м., её связь с классич. механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качеств.

результаты К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга. Детальный анализ спектров атомов привёл к представлению (введённому впервые амер. физиками Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому швейц. физиком В. Паули) о том, что эл-ну, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутр. хар-ка спин. Важную роль сыграл открытый Паули (1925) т. н. принцип запрета ((см. ПАУЛИ ПРИНЦИП), см. ниже), имеющий фундам. значение в теории атома, молекулы, ядра, тв. тела. В течение короткого времени К. м. была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории ат. спектров, строения молекул, хим.

связи, периодич. системы элементов, металлич. проводимости и ферромагнетизма. Дальнейшее принципиальное развитие квант. теории связано гл. обр. с релятив. К. м. Нерелятив. К. м. развивалась в осн. в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики атомов, молекул, тв. тел (металлов, ПП), плазмы и т. д., а также совершенствования матем.

аппарата и разработки количеств. методов решения разл. задач. Вероятности и волны. Законы К. м. не обладают той степенью наглядности, к-рая свойственна законам классич. механики. Поэтому целесообразно проследить линию развития идей, составляющих фундамент К. м., и только после этого сформулировать её осн. положения. Выбор фактов, на базе к-рых строится теория, не единствен, поскольку К.

м. описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для её обоснования. Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис. 1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка S. Часть света проходит через пластинку, часть отражается от неё. Известно, что свет состоит из «ч-ц» фотонов. Что же происходит с отдельным фотоном при попадании его на пластинку? Если поставить опыт (напр.

, с пучком света крайне малой интенсивности), в к-ром можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что при встрече с пластинкой фотон не расщепляется на два, его индивидуальность как ч-цы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту). Оказывается, что нек-рые фотоны проходят сквозь пластинку, а нек-рые отражаются от неё.

Если поместить такую же пластинку на пути прошедшего (или отражённого) света, то будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдёт вторую пластинку, часть отразится. Следовательно, одинаковые ч-цы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному, т. е. поведение фотона при встрече с пластинкой не предсказуемо однозначно.

Детерминизма в том смысле, как это понимается в классич. механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод явл. одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волн. св-вами ч-ц и построения теории квантовомеханич. явлений. Волн. теория легко объясняет отражение света от прозрачной пластинки и прохождение через неё, однозначно предсказывая отношение интенсивностей прошедшего и отражённого света. С корпускулярной точки зрения интенсивность света пропорц. числу фотонов, следовательно, волн. оптика позволяет определить отношение чисел прошедших (N1) и отражённых (N2) фотонов, N1/N2(N1+N2)=N-полное число падающих на пластинку фотонов).

Поведение же одного фотона, естественно, ею не описывается. Отражение фотона от пластинки или прохождение через неё случайные события: нек-рые фотоны проходят через пластинку, нек-рые отражаются от неё, но при большом N отношение N1/N2 находится в согласии с предсказанием волн. оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью теории вероятностей.

Фотон может с вероятностью w1 пройти через пластинку и с вероятностью w2 отразиться от неё, так что в ср. пройдёт пластинку w1N ч-ц, а отразится w2N ч-ц. Если N очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел ч-ц точно совпадают с истинными. Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей, и тогда они будут относиться к поведению одного фотона.

Вероятность того, что с фотоном произойдёт одно из двух альтернативных (взаимоисключающих) событий прохождение или отражение, равна w1+w2=1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна w21, а вероятность прохождения через первую и отражения от второй w1w2 (что соответствует разделению света второй пластинкой на прошедший и отражённый в том же отношении, что и первой).

Это закон умножения вероятностей, справедливый для независимых событий. Аналогичные опыты с пучком эл-нов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отд. ч-цы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц.

Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: вз-ствие «классич.» ч-ц с «квантовыми» с необходимостью приводило бы к внесению квант. неопределённостей и делало бы поведение «классич.» ч-ц также непредсказуемым (в смысле классич. детерминизма). Т. о., возможная формулировка задачи К.

м.предсказание вероятностей разл. процессов (в отличие от классич. механики, предсказывающей в принципе достоверные события). Вероятностное описание возможно и в классич. механике: когда нач. условия заданы не точно, а с нек-рой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный хар-р.

Примером служит классич. статистич. физика, оперирующая с усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квант. и классич. механики была бы не столь велика, если бы осн. понятиями К. м. были именно вероятности. Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классич. механикой, усложним рассмотренный выше опыт по отражению света.

Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 (рис. 2) меняет направление и попадает в ту же область А (напр., в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок. Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков. Однако известно, что в результате интерференции света интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга).

Что же можно сказать о поведении отд. фотона в пнтерференц. опыте? Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом (рис. 1) и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями, т. е. эти два пути не явл. альтернативными. Т. о., наличие двух возможных путей прихода фотона от источника к детектору существ.

образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог прийти двумя разл. путями. Аналогичный опыт, проведённый с пучками др. микрочастиц, даёт тот же результат. Возникающие представления действительно радикально отличаются от классических: невозможно представить себе движение ч-цы одновременно по двум путям.

Но К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками ч-ц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волн. опыта с точки зрения корпускулярных представлений. Полученный результат означает невозможность классич. описания движения ч-ц по траекториям, отсутствие наглядности квант.

описания. Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла ч-ца, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что ч-ца будет зарегистрирована в к.-л. одном детекторе. Но как только измерение выделит определ. траекторию ч-цы, интерференц.

картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. Т. о., регистрация траектории ч-цы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей (или вероятностей), к-рое было бы в случае «классич.

» ч-ц, движущихся по определ. траекториям. Для квант. явлений очень важно точное описание условий опыта, в к-рых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерит. приборы. В классич. физике предполагается, что состояние системы при измерении не меняется. В квант. физике такое предположение несправедливо: измерит.

прибор сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерит. прибора в квант. явлениях была всесторонне проанализирована Бором и Гейзенбергом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей (см. ниже). Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физ. явления безотносительно к приборам, напр.

св-ва ч-ц «самих по себе». Примерами могут служить решаемые К. м. задачи об уровнях энергии атомов, о рассеянии микрочастиц при их столкновениях, об интерференц. явлениях. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся специфич. вопросы, лишённые, как выяснилось, смысла, напр. вопрос о том, по какой траектории двигался эл-н в интерференц.

опыте (т. к. либо нет траектории, либо нет интерференции) . Интерференц. опыт, как и опыт по отражению света, легко объясняется на основе волн. оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью I или амплитудой А (I = А2), но и фазой j. Совокупность действит. величин А и j принято объединять в одно комплексное число комплексную амплитуду: y=Aeij.

Тогда I=|y|2=y•y=A2, где y* ф-ция, комплексно сопряжённая с y. Т..к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света (рис. 1) ситуация именно такая: имеются две волны с комплексными амплитудами y1 и y2, но одна из них существует только справа, а другая только слева от пластинки; интенсивности этих волн I1=A21, I2=A22, т.

е. фазы не фигурируют. В интерференц. опыте (рис. 2) ситуация иная: волна с амплитудой y2 с помощью зеркала попадает в область нахождения волны с амплитудой y1. Волн. поле в области существования двух волн определяется с помощью принципа суперпозиции: волны складываются с учётом их фаз. Амплитуда суммарной волны y равна сумме комплексных амплитуд обеих волн: y=y1+y2=A1еij1+A2еij2.

(3) Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз j1-j2 (к-рая пропорц. разности хода световых пучков по двум путям): |y|2 = |А1еij2+A2еijj2|2=A21+A22+ 2A1A2cos(j1-j2). (4) Если А1=А2 и cos(j1-j2)=-1, то |y|2=0. В более общем случае из-за изменения условий опыта (напр., св-в зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что комплексной амплитудой суммарной волны будет y=c1y1+с2y2, где c1 и с2 комплексные числа.

Суть явления при этом остаётся прежней. Хар-р явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить y в С раз (С может быть как комплексным, так и действительным), то интенсивность увеличится в |С|2 раз, т. е. |С|2 будет общим множителем в ф-ле распределения интенсивностей. Для интерпретации волн. явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К.

м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности y=Aeij, полагая (по аналогии с оптич. волнами), что вероятность w=|Cy|2=|C|2y*y. Здесь С число, наз. нормировочным множителем, к-рый должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения ч-цы во всех возможных местах равнялась единице, т.

е. Siwi=1. Множитель С определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абс. вероятности; относит. вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности наз. в К. м. волновой функцией. Амплитуды вероятности, как и оптич. амплитуды, удовлетворяют принципу суперпозиции: если y1 и y2 амплитуды вероятности прохождения ч-цы соотв.

первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна: y=y1+y2. Тем самым фраза: «Ч-ца прошла двумя путями», приобретает волн. смысл, а вероятность w=|y1+y2|2 обнаруживает интерференц. св-ва. Следует подчеркнуть, что смысл, вкладываемый в понятие суперпозиции в оптике (и др. волн. процессах) и в К.

м., различен. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т. к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. Квантово-механические же амплитуды вероятности описывают альтернативные, с классич. точки зрения исключающие друг друга движения (напр.

, волны y1 и y2 соответствуют ч-цам, приходящим в детектор двумя разл. путями). Сложение таких движений совершенно непонятно с позиции классич. физики. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханич. принципа суперпозиции. Избежать формального логич. противоречия этого принципа в К. м. (возможность для ч-цы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация.

Постановка опыта по определению пути ч-цы приведет к тому, что с вероятностью |y1|2 ч-ца пройдёт первым и с вероятностью |y2|2 вторым путём; суммарное распределение ч-ц на экране будет определяться вероятностью |y1|2+|y2l'2, т. е. интерференция исчезнет. Т. о., рассмотрение интерференц. опыта приводит к след. выводам. Величиной, описывающей состояние физ.

системы в К. м., явл. амплитуда вероятности, или волн. ф-ция системы; осн. черта такого квантовомеханич. описания предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний. В общем виде принцип суперпозиции утверждает, что если в данных условиях возможны разл. квант. состояния ч-цы (или системы ч-ц), к-рым соответствуют волн.

ф-ции y1, y2,..., yi..., то существует и состояние, описываемое волн. ф-цией Siciyi, где ci произвольные комплексные числа. Если yi описывают альтернативные состояния, то |ci|2 определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волн. ф-цией yi и S|ci|2=1. Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из осн. задач К. м.нахождение волн.

ф-ции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся ч-цы. Согласно де Бройлю, со свободной ч-цей, имеющей импульс р, связана волна с длиной l=h/p. Это означает, что волн. ф-ция свободной ч-цы y(z) волна де Бройля должна быть такой ф-цией координаты х, чтобы при изменении x на l волн.

ф-ция y возвращалась к прежнему значению: y(x+l)=y(x). Таким св-вом обладает ф-ция ei2px/l=elkx, где k=2p/l волн. число. Т. о., состояние ч-цы с определ. импульсом p=(h/2p)k=С›k описывается волновой ф-цией: y=Ceikx=Ceipx/Р‹, (5) где С постоянное комплексное число. Квадрат модуля волн. ф-ции, |y|2, не зависит от х, т. е. вероятность нахождения ч-цы, описываемой такой y, в любой точке пр-ва одинакова.

Другими словами, ч-ца со строго определ. импульсом совершенно нелокализована. Конечно, такая ч-ца идеализация (но идеализацией явл. и волна со строго определ. длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса ч-цы). Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым явл. импульс ч-цы, тем менее определённо её положение (координата).

В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количеств. выражение этого принципа соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию нек-рого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими k, заключёнными в малом интервале Dk. Получающаяся в результате суперпозиции волн.

ф-ция y(x), наз. волновым пакетом, имеет такой хар-р: вблизи нек-рого фиксиров. значения x0 все амплитуды сложатся, а вдали от х0(|х-х0|->l) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волн. ф-ция сосредоточена в области шириной Ах, обратно пропорц. интервалу Dk, т. е. Dx»1/Dk, или DxDp»Р‹, где Dр=С›Dk:-неопределённость импульса ч-цы.

Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга. Математически любую ф-цию y(x) с помощью преобразования Фурье можно представить как наложение простых периодич. волн, при этом соотношение неопределённостей между Dх и Dk получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства DxD?l/2, или DрDх?С›/2, (6) где под неопределённостями Ар и Ах понимаются среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их ср.

значений (т. е. дисперсии). Физ. интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классич. механике) не существует такого состояния, в к-ром координата и импульс ч-цы имеют одновременно точные значения. Масштаб их неопределённостей задаётся постоянной Планка Р‹. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение ч-цы будет описываться законами классич.

механики как движение по определ. траектории. Принцип неопределённости фундам. принцип К. м., устанавливающий физ. содержание и структуру её матем. аппарата. Кроме того, он играет большую эвристич. роль, т. к. мн. результаты задач, рассматриваемых в К. м., могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с соотношением неопределённостей.

Важный пример проблема устойчивости атома. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть эл-н движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью v. По закону Кулона, сила притяжения эл-на к ядру равна е2/r2, где е заряд эл-на, а центростремит. ускорение равно v2/r.

По второму закону Ньютона, mv2/r=е2/r2, где m масса эл-на, т. е. радиус орбиты r=e2/mv2 может быть сколь угодно малым, если v достаточно велика. Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения эл-на в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости в пределах v, т. е. импульса в пределах Dp=mv, то соотношение неопределённостей примет вид: mvr?С›.

Учитывая связь между v и r, получим v?е2/С› и r?С›2/me2. Следовательно, движение эл-на по орбите с r0. Если полная энергия ч-цы больше высоты стенки, т. е. ?>V, и ч-ца движется слева направо (рис. 3), то решение ур-ния (7) в области x 0 проходящей волны де Бройля: y=C1eik1x, где С›2k21/2m=p21l2m=?-V1. Отношения |C1/C0|2 и |С'0/С0|2 определяют вероятности прохождения ч-цы над стенкой и отражения от неё.

Наличие отражения (т. н. надбарьерное отражение) специфически квантовомеханическое (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): «классич.» ч-ца свободно проходит над таким барьером (стенкой), и лишь импульс её уменьшается до значения р1=?((2m(e-V1)). Если ?0 отрицательна.

В классич. механике это невозможно, и ч-ца не заходит в такую область пр-ва она отражается от потенц. стенки. Волн. движение имеет др. хар-р. Отрицат. значение k2(p2/2m.=С›2k2/2m0, иначе получился бы лишённый физ. смысла неогранич. рост волны с увеличением х). Под энергетич. схемой на рис. 4,а (и рис. 4, б) изображено качеств. поведение y(x), точнее, её действит.

части. 2) Две области, свободные от сил, разделены прямоуг. потенциальным барьером, и ч-ца движется к барьеру слева с энергией ? может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на другой вектор, т. е. составить скалярное произведение |y> с любым другим вектором состояния |y'>; оно обозначается как *. (26) Скалярное произведение вектора |y|> с самим собой, ,положит.

число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Разл. состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пр-ве состояний. Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора |y> к другому вектору |y'> или произвести преобразование |y>В®|y'>.

Символически эту операцию можно записать как результат действия на |y> нек-рого линейного оператора L .