Математическая энциклопедия - чеха когомологии

, когомологии Александрова Чеха, спектральные когомологии,прямой предел

когомологии с коэффициентами в абелевой группе Gнервов всевозможных открытых покрытий топологич. пространства X. Когомологни замкнутого подмножества могут быть определены аналогичным образом с помощью подсистем всех тех множеств из к-рые имеют непустое пересечение с А. Предел групп пар определяет когомологии Н ⁿ(X, A; G )пары (X, А). Когомологич. последовательность

пары (X, А)точна как предел точных когомологич. последовательностей пар нервов

Когомологии Александрова Чеха служат заменой сингулярных когомологии в общих категориях топологич. пространств и совпадают с ними всякий раз, когда применение последних не вызывает сомнений (а именно, в случае гомологически локально связных, в частности, локально стягиваемых пространств). Они удовлетворяют всем Стинрода Эйленберга аксиомам и в категории паракомпактных пространств однозначно определяются этими аксиомами вместе со следующими требованиями: а) Н ^р = 0 при р< 0; б) когомологии дискретного объединения естественно изоморфны прямому произведению когомологий пространств в) для системы всех окрестностей произвольной точки Когомологии Александрова-Чеха изоморфны когомологиям Александера -Спеньера. Они могут быть определены с коэффициентами в пучке и для паракомпактных пространств изоморфны когомологиям, определяемым в теории пучков.

Возможность аппроксимации пространств полиэдрами нервами замкнутых покрытий установлена П. С. Александровым (см. [1] -[3]). Для частного случая им было дано определение обратного предела топологич. пространств, а на основе аппроксимации определение чисел Бетти метризуемых компактов. Группы гомологии компактов определились в терминах циклов Вьеториса. Л. С. Понтрягин [4] ввел прямые и обратные спектры групп, и эти понятия были применены им к изучению групп гомологии компактов. Э. Чех (Е. Cech) стал рассматривать нервы конечных открытых покрытий некомпактных пространств и на этой основе положил начало гомологич. теории произвольных топологич. пространств. Позже выяснилось, что рассмотрение исключительно конечных покрытий не оправдано (так как приводит к довольно сложным гомологиям компактификации Стоуна-Чеха). Плодотворность использования произвольных открытых покрытий в теории гомологии и когомологии некомпактных пространств продемонстрировал X. Даукер [5].

Лит.:[1] Александров П. С., лMath. Ann.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985