Математическая энциклопедия - дерево

в теории графов связный неориентированный граф G, не содержащий циклов. Д. не имеет кратных ребер и петель. Являясь простейшими связными графами, Д. служат хорошими моделями для рассмотрения различных вопросов теории графов. Любое Д. с пвершинами содержит п-1 ребер. Число различных Д., к-рые можно построить на пнумерованных вершинах, равно n^n-2. Д. с одной выделенной вершиной наз. корневым деревом.

Перечисляющий ряд

для числа Т n неизоморфных корневых Д. с пвершинами удовлетворяет функциональному уравнению

Перечисляющий ряд

для числа tn неизоморфных Д. с n вершинами можно представить с помощью перечисляющего ряда для корневых Д.:

Функциональные уравнения для Т(х)и t(x)позволяют вычислять значения Т п и tn для конкретных значений п(см., напр., [1]). Доказано, что при

где С=0,534948;.., a=2,95576... (см. [2]). Задачи перечисления Д. определенного вида возникают, напр., в химии при изучении изомеров.

Д. можно достаточно просто кодировать наборами из нулей и единиц. Рассмотрим, напр., к.-л. правильную (без пересечения ребер) укладку Д. Dна плоскости (см. Графа укладка). Начиная с к.-л. вершины, будем двигаться по ребрам Д. D, сворачивая в каждой вершине на ближайшее справа ребро и поворачивая назад в концевых вершинах Д. Проходя по нек-рому ребру, записываем 0 при движении по ребру в первый раз и 1 при движении по ребру второй раз (в обратном направлении). Если mчисло ребер Д. D, то через 2т шагов мы вернемся в исходную вершину, пройдя по каждому ребру дважды. Полученная при этом последовательность из 0 и 1 (код Д.) длины 2m позволяет однозначно восстанавливать не только само Д. D, но и его укладку на плоскости. Произвольному Д. соответствуют несколько кодов. Из этого способа кодирования вытекает оценка: tn<Tn<4ⁿ.

Д. Gс пвершинами однозначно восстанавливается (с точностью до изоморфизма) по набору всех его (п-1)-вершинных подграфов G-v, получаемых из Gудалением каждой из его вершин v.

Любое Д. однозначно определяется также расстояниями (длиной наименьшей цепи) между его концевыми (степени 1) вершинами.

Остовное дерево (остов) это подграф данного графа, содержащий все его вершины и являющийся Д. Число остовных Д. произвольного связного графа Gбез петель и кратных ребер можно вычислить следующим образом. Пусть Мматрица, полученная из матрицы смежности графа Gизменением знаков всех элементов на противоположный и заменой i-го элемента главной диагонали степенью вершины vi. Тогда алгебраич. дополнения всех элементов главной диагонали матрицы Мравны между собой и их общее значение есть число остовов графа G. Остовные Д. используются, напр., для нахождения независимых циклов в электрич. схеме.

Важное значение для приложений имеет задача нахождения в связном графе, ребрам к-рого приписаны веса, остовного Д. с наименьшей суммой весов ребер. Такая задача возникает, напр., при проектировании коммуникационных сетей. Известен алгоритм для решения этой задачи о кратчайшем связывающем дереве (см. [3]). Д., растущим (или выходящим) из вершины u0, наз. ориентированный граф, к-рый является (без учета ориентации) корневым Д. с корнем u0 и в к-ром для любой вершины u1 (единственная) цепь, соединяющая v0 с v1, является ориентированным путем из v0 в v1. Такие Д. используются, напр., для описания детерминированных функций, для представления информации в информационно-поисковых системах и т. д.

Обобщением понятия "Д." является понятие "леса"; лес это граф без циклов (не обязательно связный).

Лит.:[1] ХарариФ., Теория графов, пер. с англ., М., 1973 (лит.); [2] Otter R., "Ann. Math.", 1948, v. 49, № 3, p. 583-99; [3] Прим Р. К., "Кибернетический сборник", 1961. в. 2, с. 95 107.

В. Б. Алексеев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985