Математическая энциклопедия - детерминантное многообразие

множество матриц Dt(d, n )порядка и ранга меньше t, снабженное структурой алгебраич. многообразия. Пусть Jt(d, n)идеал кольцамногочленов

скоэффициентами в поле к, порожденный минорами порядка tматрицы порядка составленной из переменных Tij (детерминантный идеал). Множество нулей идеала Jt(d, n )в аффинном пространстве наз. детерминантным многообразием и обозначается Dt(d, n). Для любой коммутативной k-алгебры к' множество k'-точок Д. м. Dt(d, и )естественным образом отождествляется с множеством матриц порядка и ранга <t с коэффициентами в к'.

Частные случаи Д. м.: Dd (d, d )есть гиперповерхность в A^d2, задаваемая обращением в нуль определителя квадратной матрицы порядка d, составленной из независимых переменных (детерминантная гиперповерхность); B2(d, n) есть аффинный конус для образа вложения Сегре произведения проективных пространств [2].

Д. м. обладают следующими свойствами: Dt(d, n) неприводимо, приведено (т. е. идеал Jt(d, n )прост), является многообразием Коэна Маколея (см. Коэна Маколея кольцо), нормально, и размерность Dt(d, n )равна (t-1)(n+a-i )(см. [1], [2]). При t=1 или d=n (и только в этих случаях) Dt.(d, га) является схемой Горенштейна (см. Горенштейна кольце)[5]. Д. м. тесно связаны с подмногообразиями Шуберта грассманова многообразия (см. Шуберта многообразие).

Лит.:[1] Hochster M., Eagon J., "Amer. J. Math", 1971, v. 93, Mb4, p. 1020-58; [2] Kleiman S., Landolfi J., "Compositio math.", 1971, v. 23, p. 407-34: [3] Laksov D., "Сотр. math.", 1975, v. 30, p. 273-92; [4] MusiliC, "J. Indian Math. Soc", 1974, v. 38, p. 131-45; [5] Svanes Т., "Advances Math.", 1974, v. 14, p. 369-453.

И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985