Математическая энциклопедия - дубль римановой поверхности

двулистная накрывающая поверхность W конечной римановой поверхности R. Каждой внутренней точке ставится в соответствие пара точек ри Д. р. п. W;иными словами, над ррасположены две сопряженные точки Д. р. п. ри р. Каждой точке qкрая Rставится в соответствие одна точка При этом над каждой окрестностью внутренней точки расположены две непересекающиеся окрестности точек р, Если z локальная униформизирующая в окрестности внутренней точки то она же будет локальной униформизирующей в W-окрестности одной из двух сопряженных точек W, лежащих над р, скажем в W- окрестности точки тогда в W-окрестности сопряженной точки униформизирующей является комплексно сопряженная переменной z. Если z локальная униформизирующая в точке qкрая R, то униформизирующей в лежащей над ней точке является переменная, равная z на одном листе Wи z на другом.

Для случая компактной ориентируемой римановой поверхности RД. р. п. Wсостоит просто из двух компактных ориентируемых римановых поверхностей, и поэтому в этом случае его рассмотрение интереса не представляет. Во всех остальных случаях Д. р. п. Некомпактная ориентируемая риманова поверхность, что и позволяет упростить исследование нек-рых вопросов теории функций на Rпутем сведения их к исследованию функций на W. Род Wравен g+m-1, где gрод R, тчисло компонентов края R, предполагаемых невырожденными. Например, дублем односвязной плоской области является, сфера, а дублем m-связной плоской области сфера с т-1 ручками.

Аналитические дифференциалы на римановой поверхности Rсреди аналитич. дифференциалов на Д. р. п. Wхарактеризуются тем, что они принимают сопряженные значения в сопряженных точках Wи действительных значениях в точках лежащих над точками края R.

Лит.:[1] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М., 1957; [2] Рiсаrd E., Traite d'analyse, t.2, P., 1893.

E. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985