Математическая энциклопедия - единственности свойства

аналитических функций свойства аналитич. функций, состоящие в том, что они вполне определяются своими значениями на нек-рых подмножествах точек их области определения или границы этой области, в связи с чем различают внутренние Е. с. и граничные Е. с.

Внутренние свойства единственности. Пусть Dнекоторая область плоскости С = С* комплексного переменного z. Классическая внутренняя теорема единственности для голоморфных, т. е. однозначных аналитич. , функций в Dутверждает: если голоморфные в Dфункции f(z)и g(z)совпадают на нек-ром множестве имеющем хотя бы одну предельную точку в В, то всюду в D. Иначе говоря, если голоморфная в Dфункция f(z) принимает нулевые значения на множестве имеющем хотя бы одну предельную точку в D, то Доказательство этого внутреннего Е. с. аналитич. функций показывает, что оно, в сущности, является Е. с. степенных рядов по одному комплексному переменному г. Е. с. полностью сохраняется и для мероморфных в Dфункций f(z)и g(z), если рассматривать полюсы f(z)и g(z)как точки, в к-рых функции принимают значение бесконечности.

В частности, если две аналитич. функции f(z) и g(z)совпадают на сколь угодно малой окрестности нек-рой точки или на сколь угодно малой дуге нек-рой непрерывной кривой, то f(z)=g(z). Другое следствие: множество А- точек аналитич. функции f(z), т. е. таких точек z, в к-рых f(z)=A, не может иметь предельных точек внутри области определения D, если только

Полные аналитические функции F(z), G(z)В смысле Вейерштрасса, вообще говоря, многозначные, обладают следующим внутренним Е. с: пусть f(z)и g(z)однозначные элементы, или ветви полных аналитич. функций F(z)и G(z), определенные соответственно в областях D1 и D2,Тогда, если f(z) и g{z )совпадают на нек-ром множестве точек имеющем хотя бы одну предельную точку то функции F(z)и G(z)имеют одну и ту же область существования и всюду совпадают как полные аналитич. функции.

На случай аналитич. функций f(z)многих комплексных переменных z= (z1,z2, ..., zn), n>1, Е. с. в приведенных формулировках не переносится. Напр., аналитич. функция f(z)=z1z2 не равна тождественно нулю, но обращается в нуль на комплексно (п-1)-мерных аналитич. лоскостях z1=0 и z2=0. Для таких функций имеют место следующие Е. с:

1) Если f(z)аналитич. функция в области Dкомплексного пространства С", обращающаяся в нуль во всех точках нек-рого непустого открытого подмножества то в D.

2) Если f(z) аналитич. функция в области обращающаяся в нуль в нек-рой точке вместе со всеми частными производными

то f(z)=0 в D.

3) Если f(z)аналитич. функция в области DМCⁿ, обращающаяся в нуль в действительной окрестности U д точки т. е. на множестве U д={z= |х- х ⁰|<r, у = у ⁰}, то f(z)=0 в D.

Различие во внутренних Е. с. для случаев п=1 и n>1 обусловлено различием в поведении кратных степенных рядов по сравнению со степенными рядами по одному переменному.

Граничные свойства единственности. Сформулированная выше внутренняя теорема единственности аналитич. функций f(z) одного комплексного переменного допускает ряд обобщений на тот случай, когда нули f(z)лежат не внутри области аналитичности D, а на ее границе Г. Так, напр., если Г содержит жорданову дугу s, причем всюду на а существуют и равны нулю граничные значения f(z)изнутри области D, то f(z)=0 в D. Наиболее общие и глубокие граничные теоремы единственности получены Н. Н. Лузиным и И. И. Приваловым в 1925. Пусть Dобласть плоскости z, ограниченная спрямляемой кривой Г, и f(z)мероморфная в Dфункция. Пусть x0 точка Г, в к-рой существует касательная к Г; таким свойством обладают почти все точки спрямляемой кривой. Говорят, что функция f(z) имеет в точке x0 угловое граничное значение А, если f (z) стремится к А, когда точка z стремится к x0, оставаясь внутри пересечения области Dс внутренностью любого угла раствора меньше p с вершиной x0 и нормалью к Г в x0 в качестве биссектрисы.

Справедлива граничная теорема единственности Лузина Привалова в случае угловых граничных значений: если мероморфная в области D, ограниченной спрямляемой кривой Г, функция f(z)принимает угловые граничные значения нуль на множестве EМTположительной лебеговой меры, то f(z)=0. Вообще говоря, мероморфная функция может и не иметь граничных значений на Г, но для довольно широких классов мероморфных функций, напр, для функций ограниченного вида, установлено существование угловых граничных значений почти всюду на Г.

Наряду с этим имеются примеры ограниченных аналитич. функций в единичном круге D, стремящихся к нулю во всех смыслах на заданном множестве Еточек единичной окружности Г меры нуль. Кроме того, Н. Н. Лузин и И. И. Привалов построили примеры аналитических в единичном круге Dфункций, имеющих нулевые радиальные граничные значения, т. е. стремящихся к нулю по радиусам, всюду на нек-ром множестве полной меры 2я. Оказалось, что в вопросах единственности весьма важно также понятие категории множества по Бэру. Именно, справедлива граничная теорема единственности Лузина Привалова в случае радиальных граничных значений: если мероморфная в единичном круге Dфункция f(z). имеет радиальные граничные значения нуль на множестве Е, расположенном на дуге s. единичной окружности Г, метрически плотном и второй категории по Бэру на s, то f(z)=0. (Множество Еназ. метрически плотным на и, если каждая порция E на s имеет положительную меру.)

См. также Граничные свойства аналитических функций, Предельное множество.

Исследование граничных Е. с. аналитич. функций многих комплексных переменных еще (к 1978) не достигло такой степени полноты, как для функций одного переменного (см. [5], [6]).

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 3; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969, ч. 1, гл. 2, ч. 2, гл. 1 и сл.; [3] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.-Л., 1950; [4] Коллингвуд Э., Ловатер А., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [5] Рудин У., Теория функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974; [6] Xенкин Г. М., Чирка Е. М., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 4, М., 1975, с. 13-142.

Е. Д. Соломенцее.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985