Математическая энциклопедия - элемент аналитической функции

совокупность (D, f) области Dна плоскости комплексного переменного и аналитич. ции f(z), заданной в Dпри помощи нек-рого аналитич. аппарата, позволяющего эффективно осуществить аналитич. родолжение f(z) во всю ее область существования как полной аналитической функции. Наиболее простой и чаще всего применяемой формой Э. а. ф. является круговой элемент в виде совокупности степенного ряда

и его круга сходимости с центром а(центр элемента) и радиусом сходимости R>0. Аналитич. продолжение здесь достигается (быть может, многократным) переразложением ряда (1) для различных центров по формулам вида

Любой из элементов (D, f) полной аналитич. ции определяет ее однозначно и может быть представлен посредством круговых элементов с центрами В случае бесконечно удаленного центра круговой элемент принимает вид с областью сходимости

В процессе аналитич. родолжения функция f(z) может оказаться многозначной и могут появиться соответствующие алгебраическим точкам ветвления т. н. разветвленные элементы вида

где v>l, число v-1 наз. порядком разветвленности. Разветвленные элементы обобщают понятие Э. а, ф., последние в этой связи наа. также неразветвленными (при v=l) регулярными элементами.

В качестве простейшего элемента (D, f )аналитич. функции f(z) многих комплексных переменных | можно принять совокупность кратного степенного ряда

где a=(al,. . ., а n) центр, и нек-рого поликруга

в к-ром ряд (2) абсолютно сходится. Однако, при п> 1 следует иметь в виду, что поликруг не является точной областью абсолютной сходимости степенного ряди.

Понятие Э. а. ф. весьма близко к понятию ростка аналитич. функции.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68; [2] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964.

E. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985