Математическая энциклопедия - эргодичность

динамической системы свойство, рассматриваемое в эргодической теории. Первоначально оно определялось для каскадов{ Т ^k}и потоков {Tt} с конечной инвариантной меройm следующим образом: если на фазовом пространстве Wзадана функция то для почти каждой точки wсуществует временное среднее вдоль траектории этой точки, т. е.

^или

к-рое совпадает с пространственным средним (т. e. с В этом случае говорят также об эргодичности меры В частности, для любого измеримого множества среднее время пребывания в Атраектории почти каждой точки пропорционально (на самом деле это свойство эквивалентно Э.). Когда была доказана Биркгофа эргодическая теорема, стало ясно, что Э. эквивалентна метрической транзитивности. В связи с этим стали говорить об Э., понимая под ней метрич. транзитивность, в более общей ситуации, когда уже не приходится говорить о совпадении временных и пространственных средних (системы с бесконечной инвариантной или квазиинвариантной мерой, не только потоки и каскады, но и более общие группы и полугруппы преобразований).

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985