Математическая энциклопедия - эйри функции

частные решения Эйри уравнения.

Первая Э. ф. (или просто Э. ф.) определяется равенством

При комплексных z

где контур в комплексной плоскости t. Вторая Э. ф. определяется равенством

Функции Ai(х),Bi(x)действительны при действительных х.

Другой набор Э. ф. ввел В. А. Фок:

v(z)в этом случае наз. функцией Эйри Фока. Справедливы тождества:

Любые две из Э, ф. v(z), w1(z), w2(z) линейно независимы.

Наиболее важна из Э. ф. v(z) (или Ai (z)). Ее асимптотич. поведение на действительной оси таково:

так что v(x)быстро убывает при и сильно осциллирует при Функции w1(z), w2(z)экспоненциально растут при х->oo(бесконечность). Для Э. ф. справедливы асимптотич. разложения при комплексных z,

Для функции w2(2) справедливо асимптотич. разложение (2), но в секторе

Здесь любое, ветви положительны на полуоси асимптотич. разложения равномерны по arg z и их можно почленно дифференцировать любое число раз. В оставшемся секторе асимптотич. разложение функции v(z)выражается через асимптотич. разложения функций w1(z), w2(z) c помощью (1), так что ее асимптотич. разложение имеет разный вид в разных секторах комплексной плоскости z. Этот факт был впервые установлен Дж. Стоксом [2] и наз. явлением Стокcа.

Э. ф. возникают при исследовании интегралов от быстроосциллирующих функций:

при Здесь f,S - гладкие функции, Sдействительна, действительный параметр. Пусть при малых фаза . имеет две близкие невырожденные стационарные точки к-рые совпадают при напр.,

Тогда при малых и при вклад в асимптотику интеграла от окрестности точки х=0выражается через Э. ф. vи ее производную (см. [6]). Такого рода интегралы возникают при исследовании коротковолновых полей вблизи простой каустики (см. [7], [8]); Э. ф. возникли в связи с исследованием этой задачи [1].

Пусть рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение

где q(x) - гладкая на отрезке I=[ а, b]действительнозначная функция, большой параметр. Нули функции q(x)наз. точками поворота (или точками перехода) уравнения (3). Пусть (такая точка наз. простой),

Положим

Уравнение (3) имеет линейно независимые решения y0 (х), y1(x)такие, что при равномерно по x

Этот результат обобщен в следующих направлениях: получены асимптотич. ряды для решений; исследован случай (напр., разлагается в асимптотич. ряд при исследована асимптотика решений вблизи кратных точек поворота. Другие обобщения относятся к уравнению

где q(z) - аналитическая в области Dкомплексной плоскости z функция. Пусть l - максимальная связная компонента линии уровня

выходящая из точки поворота z0 и не содержащая других точек поворота; тогда l наз. линией Стокcа. Если q=-z (т. е. (4) есть уравнение Эйри), то линии Стокса лучи Аналогично, если z0 простая точка поворота уравнения (4), то из неё выходят три линии Стокса l1, l2, l3 и угол между соседними линиями в точке z0 равен Пусть Sj- окрестность точки z0, из к-рой удалена окрестность линии Стокса lj, j=1,2, 3. При подходящей нумерации Sj уравнение (4) имеет три решения такие, что

при

Э. ф. возникают также при исследовании асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка и систем вблизи простейших точек поворота.

Лит.:[1] Airу G. В., лTrans. Camb. Phil. Soc.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985