Математическая энциклопедия - газовой динамики численные методы

методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной ортонормированной системе координат:

Здесь :

одномерный случай, двумерный случай, трехмерный случай, плотность газа, р - давление газа, скорость газа, Т - температура газа, полная энергия массы газа, удельная внутренняя энергия, коэффициент вязкости сжатия, коэффициент вязкости сдвига, коэффициент теплопроводности, d^{b k} символ Кронекера.

Следует различать два основных класса задач газовой динамики:

задача Коши для ограниченной или бесконечной области (нестационарные задачи газовой динамики);

стационарные краевые задачи газовой динамики для конечной или бесконечной области.

В свою очередь эти задачи могут подразделяться на ряд классов в зависимости от физич. свойств течения газа. По этому принципу можно различать:

течения идеального газа ;

течения вязкого несжимаемого газа ( коэффициент сжимаемости, , скорость звука), описываемые уравнениями Навье Стокса;

течения вязкого сжимаемого теплопроводящего газа ( ).

Численные методы решения задач газовой динамики развивались исторически почти независимо по указанным классам задач. Ныне создано большое количество разностных схем различного порядка аппроксимации. Наметились общие принципы построения численных методов, приемлемые для всех задач газовой динамики в целом, хотя и не доказанные математически строго. Эти принципы заключаются в следующем.

1) Представления обобщенного решения уравнений идеального газа как предела соответствующих решений с физическими ( ) или искусственными диссипативными членами при стремлении последних к нулю. Искусственные диссипативные члены могут вводиться непосредственно в уравнения газовой динамики или же неявно определяться самой структурой разностной схемы (аппроксимационная вязкость).

2) Расщепления (декомпозиции) интегральных законов сохранения и самих дифференциальных уравнений геометрически, аналитически и по физич. процессам (метод слабой аппроксимации, см. Дробных шагов метод).

3) Представления стационарного решения как предела решений нестационарных задач (метод установления). При этом в качестве вспомогательных нестационарных задач используются уравнения как гиперболического, так и параболического типов.

4) Аппроксимация уравнений не типа Коши Ковалевской уравнениями типа Коши Ковалевской при стремлении соответствующего малого параметра к нулю (уравнения Навье Стокса, уравнения фильтрации).

5) Построение подвижных разностных сеток как регулярного, так и нерегулярного типов.

6) Разделение в разностной схеме задач аппроксимации во внутренних регулярных и граничных точках.

7) Представление сложной системы линейных или нелинейных алгебраич. уравнений в виде рекуррентных соотношений (метод приближенной или точной факторизации).

8) Метод продолжения краевой задачи за границу и включения ее в краевую задачу с простой областью (метод фиктивных областей).

Совокупность этих представлений и методов позволяет в конечном итоге свести алгоритм решения сложных задач газовой динамики к алгоритмам решений простых задач стандартной структуры (модульный анализ алгоритмов). Такой подход пока строго не обоснован, однако практически он себя оправдал и находит все большее распространение.

Численные методы задач газовой динамики можно разделить на два больших класса: методы с явным выделением особенностей (ударные волны, контактные границы, центрированные волны разрежения) и так наз. методы сквозного счета, в к-рых особенности явно не выделяются.

Методы 1-го класса основаны на представлении обобщенного решения уравнений газовой динамики как совокупности классич. решений, определенных в некоторых областях, покрывающих фазовое пространство и примыкающих друг к другу через общие границы (линии разрывов) с соблюдением условий примыкания (условия динамич. совместности). В каждой области можно применять разностную схему, пригодную для классич. решений, а условия примыкания должны разрешаться с помощью системы, вообще говоря, нелинейных алгебраич. уравнений. Одним из наиболее распространенных методов дискретного представления классич. решений является метод характеристик. Этот метод используется только для решения задач газовой динамики, описываемых гиперболич. уравнениями, и основан он на свойстве гиперболич. системы уравнений иметь, напр., в случае двух неизвестных функций и двух независимых переменных семейство характеристик, к-рые образуют характеристич. сетку, строящуюся в процессе счета. Метод характеристик появился в газовой динамике сравнительно давно и с успехом применялся для расчета одномерных нестационарных течений с небольшим количеством особенностей, а также расчета двумерных стационарных течений в области гиперболичности уравнений. В расчетах используются также и модификации метода характеристик, в к-рых расчет ведется по слоям, ограниченным фиксированными линиями. В случае двух независимых переменных (одномерные нестационарные задачи или двумерные стационарные задачи, сверхзвуковое обтекание) метод характеристик дает возможность избежать интерполяций и тем самым эффектов сглаживания и ап-проксимационной вязкости. Он позволяет точно определять место возникновения ударных волн внутри поля течения как результат пересечения характеристик одного семейства. При большом количестве неизвестных и независимых переменных начинают появляться недостатки этого метода: возникает аппроксимационная вязкость, при наличии большого числа особенностей алгоритм становится логически сложным. Существенным недостатком метода характеристик является также ограничение на шаг сетки, связанное с критерием устойчивости Куранта, и нестрогое выполнение законов сохранения. Поэтому методом характеристик целесообразно рассчитывать задачи, в к-рых число