Математическая энциклопедия - газовой динамики уравнения

математическое выражение основных законов сохранения массы, импульса, энергии газа, описывающих состояние газа. Газ есть совокупность большого числа частиц (молекул, атомов, ионов), находящихся в непрерывном хаотич. движении. Учет взаимодействия и движения каждой частицы газа является чрезвычайно трудной проблемой, поэтому для описания состояния газа применяют статистический или континуальный подход. При таком подходе состояние ансамбля частиц газа характеризуется функцией распределения частиц, определенной или в 7-мерном фазовом пространстве или 4-мерном пространстве В первом случае рассматривается скалярная функция распределения

в к-рой величины непрерывно меняющиеся аргументы, и меняются в конечных или бесконечных интервалах, Сама функция удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Больцмана (см. Больцмана уравнение, Кинетическое уравнение).или же, в зависимости от физич. предпосылок, другим уравнениям (см. Боголюбова цепочка уравнений, Власова кинетическое уравнение). Во втором случае функция распределения, описывающая состояние газа, является векторной функцией

зависящей от четырех аргументов непрерывно и независимо меняющихся в интервалах В этом случае под частицей, строго говоря, следует понимать материальный элемент газа, занимающий бесконечно малый объем и обладающий определенной скоростью к-рая является функцией аргументов Здесь -плотность газа, т. е. масса газа, приходящаяся на единицу объема, полная энергия единицы массы газа, внутренняя энергия единицы массы газа.

В предположении локального термодинамич. равновесия из уравнений Больцмана следуют законы сохранения газовой динамики в интегральной форме. В инер-циальной ортонормированной системе координат:

где объем пространства, ограниченный поверхностью . Соотношения (1) справедливы для произвольного объема с границей -мерном фазовом пространстве . Величины в трехмерном случае имеют следующий вид:

(2)

давление газа, температура газа, символ Кронекера, коэффициент вязкости сжатия, коэффициент вязкости сдвига, коэффициент теплопроводности. При записи формул употребляются правила записи формул тензорного анализа.

Для гладких течений получается система дифференциальных уравнений в дивергентной форме:

Эта система уравнений становится замкнутой после присоединения уравнений состояния. В случае термодина-мич. равновесия уравнения состояния принимают вид:

В неравновесном случае эти величины могут зависеть от градиентов функции течения.

Представление (2) имеет определенный физич. смысл: соответствует конвективным потокам массы, импульса, энергии, шаровой недиссипативной части тензора напряжений, т. е. давлению, диссипативной части напряжений (вязкость, диффузия тепла) и используется в методе расщепления для получения эффективных схем интегрирования задач газовой динамики.

Для описания течения газа могут применяться различные системы координат. Кроме системы координат, неподвижно связанной с физич. пространством и являющейся галилеевой (эйлерова система координат), применяются различные подвижные, не обязательно декартовы и галилеевы системы координат. Очень распространенной является лагранжева система координат, связанная с частицами газа. В этой системе координат каждый материальный элемент имеет фиксированную координату. Эйлеров способ состоит в том, что в каждый момент времени tпараметры состояния газа определяются как функции координат (эйлеровы координаты) точки в нек-рой неподвижной системе координат и вектор означает скорость частицы газа, находящейся в момент времени tв точке Способ Лагранжа предполагает задание скорости ии термодинамич. величин для каждой частицы как функций времени t. Зафиксировав частицу газа с помощью параметров получают параметры течения газа как функции от времени (лаг-ранжевы координаты). Связь между эйлеровыми и лагранжевыми координатами имеет вид:

где эйлеровы координаты частицы, находившейся в момент времени t=0 в точке В случае одной пространственной переменной при условии, что газодинамич. переменные являются непрерывно дифференцируемыми функциями, уравнения вязкого теплопроводного газа имеют вид: в эйлеровых координатах

в лагранжевых координатах

где

Для произвольной подвижной системы координат во многих случаях целесообразно одновременно преобразовывать компоненты скорости по тензорному закону. Если

есть преобразование пространственных координат, при к-ром временная координата не изменяется, то отображение (5) можно связать с самим течением газа и тогда оно будет определять поле локальных систем координат, зависящих от самого течения. Возможны и более общие преобразования, включающие изменение временной координаты.