Математическая энциклопедия - гельмгольца уравнение

уравнение с частными производными вида

где с - постоянное число. К Г. у. приводит изучение установившихся колебательных процессов. При Г. у. переходит в Лапласа уравнение. В случае, если в правой части Г. у. стоит функция , это уравнение наз. неоднородным Г. у.

Для Г. у., являющегося уравнением эллиптич. типа, в ограниченной области ставятся обычные краевые задачи (Дирихле, Неймана и др.). Те значения с, для к-рых существует не равное тождественно нулю решение однородного Г. у., удовлетворяющее соответствующему однородному краевому условию, наз. собственным значением оператора Лапласа (соответствующей краевой задачи). В частности, для задачи Дирихле все собственные значения положительны, а для задачи Неймана неотрицательны. Для значений с, совпадающих с собственными значениями, решение краевой задачи для Г. у. заведомо неедннственно. Если же значения сотличны от собственных, то теорема единственности справедлива.

При решении краевых задач для Г. у. применяются обычные методы теории эллиптич. уравнений (сведение к интегральному уравнению, вариационный метод, метод конечных разностей).

В случае неограниченной области с компактной границей для Г. у. ставятся внешние краевые задачи, к-рые при имеют единственное решение, стремящееся к нулю на бесконечности. При стремящееся к нулю на бесконечности решение Г. у., вообще говоря, не является единственным. В этом случае для выделения единственного решения ставят дополнительные условия (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи, Предельного поглощения принцип).

Для регулярного в области G решения Г. у. справедлива следующая формула среднего значения

где сфера радиуса г с центром в точке х а, целиком лежащая в области Бесселя функция порядка .

Г. у. рассматривалось Г. Гельмгольцем (Н. Helmlioltz), к-рый получил первые теоремы о решении краевых задач для этого уравнения в 1860.

Лит.:[1] Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 1 (3 изд.), т. 2 (2 изд.), М.Л., 1951: [2] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

Ш. А. Алимов, В. А. Ильин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985