Математическая энциклопедия - глубина модуля

одна из когомологич. характеристик модуля над коммутативным кольцом. Пусть А - нётерово кольцо, I его идеал и пусть Месть A-модуль конечного типа. Тогда I-г лубиной модуля М наз. наименьшее целое число n, при к-ром

Г. м. обозначают , или . Другое определение может быть дано в терминах М- регулярной последовательности, т. е. последовательности таких элементов из А, что а i не является делителем нуля в модуле

I-глубина модуля Мравна длине наибольшей М- регулярной последовательности, составленной из элементов идеала I. В случае локального кольца А за I принимают обычно максимальный идеал. Верна следующая формула:

где означает простой идеал А, а рассматривается как модуль над локальным кольцом .

Понятие Г. м. было введено в [1] под назв. гомологической коразмерности. Если проективная размерность модуля Мнад локальным кольцом Аконечна, то

В общем случае не превосходит размерности модуля М.

Концепция Г. м. является одним из основных инструментов исследования модулей. Так, в терминах Г. м. определяются модули и кольца Коэна Маколея; удобным часто оказывается условие Серра (Sk).на А-модуль М:

для всех простых идеалов в А. Наконец, Г. м. тесно связана о локальными когомологиями: утверждение

равносильно тому, что модули локальных когомологий равны нулю при .

Лит.:[1] Auslander М., Вuсhsbаum D. A., "Proc., Nat. Acad. Sci. USA", 1956, v. 42, p. 36-38; [2] Сepp Ж.-П., "Математика", 1963, т. 7, № 5, с. 3-93; [3] Grоthendieсk A., Cohomologie locale des faisceaux coherents, et theoremes de Lefschetz locaux et globaux, В., 1971.

В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985