Математическая энциклопедия - исчерпывания метод

метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. Назв. "метод исчерпывания" введено в 17 в.

Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины Астроится нек-рая последовательность величин C1, C2, ..., С п,... так, что

предполагают также известным такое В, что

и при любом целом Кдля достаточно больших пудовлетворяются неравенства

где Dпостоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенства (3) к равенству

достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует

Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А<В, В<А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи Архимеда аксиомы устанавливали, что для R=B-A существует такое К, что KR>D, и в силу условия (1) получали

что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).

Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием Архимед. Напр., для определения площади сегмента Апараболы Архимед строит площади С 1, С 2,.. .,"исчерпывающие" при их постепенном нарастании площадь Асегмента.

При этом

Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу

Архимед геометрически доказывает, что при любом п

Вводя площадь

Архимед получает, что

и, следуя изложенному выше порядку, закапчивает доказательство того, что

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985