Математическая энциклопедия - кремоны группа

группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства над полем k, или, что то же, группа кремоновых преобразований пространства

Группа естественным образом содержит в качестве подгруппы группу проективных преобразований пространства причем при эти группы не совпадают. Группа будет изоморфна группе автоморфизмов над kполя рациональных функций от ппеременных над k. Основным результатом о К. г. проективной плоскости является теорема Нётера: группа над алгебраически замкнутым полем порождается квадратичными преобразованиями или, что эквивалентно, стандартным квадратичным преобразованием и проективными преобразованиями (см. [1], [7]). Неизвестно (1982), является ли эта группа простой. Существует обобщение теоремы Нётера на случай, когда основное поле kне является алгебраически замкнутым (см. [5]).

Одна из труднейших проблем бирациональной геометрии проблема описания строения группы к-рая уже не порождается квадратичными преобразованиями. Почти во всех работах о кремоновых преобразованиях 3-мерного пространства изучаются лишь конкретные примеры таких преобразований. О строении К. г. пространства размерности выше 3 почти ничего не известно.

Важное направление исследований К. г. связано с изучением подгрупп группы С точностью до сопряженности описаны конечные подгруппы в над алгебраически замкнутым полем k(см. [8], а также [6]). Классификация всех инволюций в получена еще в 1877 Э. Бертини (E. Bertini, см., напр., [4], [5]). Вопрос об описании всех инволюций в открыт. Все максимальные связные алгебраич. подгруппы в описаны Ф. Энрикесом (F. Enriques) в 1893 (см. [4]). Это в точности группы автоморфизмов всех минимальных моделей рациональных поверхностей, т. е. плоскости квадрики и серии линейчатых поверхностей Имеются нек-рые обобщения этого результата (см. [3], [9]) на случай группы

Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 75); [2] С о b l e A., Algebraic geometry and theta functions, N. Y., 1929; [3] Demazure M., "Ann. sci. EC. norm. sup.", ser. 4, 1970, t. 3, № 4, p. 507-88; [4] G o-d e a u x L., Les transformations birationnelles du plan, P., 1927; [5] Hudson H., Cremona transformations in plane and space, Camb., 1927; [6] М а н и н Ю. И., "Матем. сб.", 1967, т. 72, №2, с. 161-92; [7] Нагата М., "Математика", 1964, т. 8, № 4, с. 75-94; [8] W i m a n A., "Math. Ann.", 1897, Bd 48, S. 195-240; [9] Umemura H., "Nagoya Math. J.", 1980, v. 79, p. 47-67. В. А. Псковских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985