Математическая энциклопедия - кремоново преобразование

бирациональное преобразование проективного пространства над полем k. Бирациональные преобразования плоскости и трехмерного пространства систематически изучал (начиная с 1863) Л. Кремона (L. Cremona). Группа К. п также называется его именем группа Кремоны и обозначается

Простейшими примерами К. п., отличными от проективных преобразований, являются квадратичные бирациональные преобразования плоскости. В неоднородных координатах (x, у).их можно записать в виде дробно-линейных преобразований

Среди них выделяется так наз. стандартное квадратичное преобразование t:

или в однородных координатах

Оно является изоморфизмом вне координатных осей:

имеет три фундаментальные точки (точки неопределенности) (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0) и отображает в каждую из этих точек координатную ось, не содержащую эту точку.

По теореме Нётера (см. Кремоны группа).над алгебраически замкнутым полем kкаждое К. п. плоскости может быть представлено в виде композиции квадратичных преобразований.

В теории К. п. плоскости важную роль играют нек-рые специальные классы преобразований, в частности инволюции Гейзера и инволюции Бертини (см. [1]). Инволюция Гейзера определяется с помощью линейной системы кривых степени 8 на проходящих с кратностью 3 через 7 точек в общем положении. Инволюция Бертини b: определяется с помощью линейной системы кривых степени 17 на проходящих с кратностью 6 через 8 точек в общем положении.

К. п. вида

лаз. преобразованиями Жонкьера. Наиболее естественно они интерпретируются как бира-зщональные преобразования квадрики сохраняющие проекцию на один из множителей. Теорема Нётера допускает при этом следующую переформулировку: группа бирациональных автоморфизмов квадрики порождена инволюцией s и преобразованиями Жонкьера, где автоморфизм перестановки множителей.

Всякий бирегулярный автоморфизм аффинного пространства продолжается до К. п. пространства так что В случае n=2 группа порождена подгруппой аффинных преобразований и подгруппой преобразований вида

более того, она является амальгамированным произведением этих подгрупп [5]. Как устроены группы . при ' неизвестно. Вообще, о К. п. в размерности не получено к настоящему времени (1982) сколь .либо существенных результатов.

Лит.:[1] Hudson Н., Cremona transformations in plane and space, Camb., 1927; [2] G о d e a u x L., Les transformations birationnelles du plan, P., 1927; [3] С о b 1 e A., Algebraic geometry and theta functions, N. Y., 1929; [4] H а г а т а М., "Математика", 1964, т. 8, № 4, с. 75-94; [5] Ш а ф a p e в и ч И. Р., "Rend, math.", 1966, v. 25, p. 208-12. В. А. Псковских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985