Математическая энциклопедия - льенара уравнение

нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

Это уравнение описывает динамику системы с одной степенью свободы при наличии линейной восстанавливающей силы и нелинейного затухания. Если функция f(x).обладает следующим свойством:

т. е. если при малых амплитудах система поглощает энергию, а при больших происходит диссипация, то в системе можно ожидать самовозбуждение колебаний (возникновение автоколебаний). Впервые достаточные условия возникновения автоколебаний в системе (*) доказал А. Льенар [1].

Л. у. тесно связано с Рэлея уравнением. Важным частным случаем Л. у. является Ван дер Поля уравнение. Вместо уравнения (*) часто удобно рассматривать систему

(автоколебательному процессу в системе (*) адекватен устойчивый предельный цикл на фазовой плоскости x, v).или эквивалентное ей уравнение

Если ввести новую переменную

где

то уравнение (*) переходит в систему

Более общими, чем Л. у., являются уравнения

Основной интерес представляет выяснение возможно более широких достаточных условий, при к-рых эти уравнения имеют единственное устойчивое периодич. решение. Подробно изучалось также неоднородное Л. у.

и его обобщения.

Лит.:[1] Lienard A., "Rev. gen. electr.", 1928, t. 23, p. 901 12, 946 54; [2] А н д р о н о в А. А., В и т т А. А., X а и к и н С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 195Э; [3] С а н с о н е Д ж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 2, М., 1954; [4] Л е ф ш е ц С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961; [5] Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р., Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1974. Н. X. Розов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985