Математическая энциклопедия - лучевой метод

метод формального нахождения высокочастотной асимптотики решения задач теории дифракции и распространения волн. Л. м. состоит из совокупности приемов нахождения того или иного варианта геометрического приближения (г. п.) к решению соответствующей задачи.

Пусть, напр., волновой процесс описывается волновым уравнением

Подстановка ряда г. п. в волновое уравнение и приравнивание нулю коэффициентов при последовательных степенях 1/w (параметр со соответствует частоте колебаний) приводят к соотношениям

из к-рых первое эйконала, уравнение, остальные уравнения наз. уравнениями переноса. Ото рекуррентная последовательность линейных уравнений вдоль лучей, т. е. экстремалей функционала Ферма (см. Ферма принцип).

Если заданы поверхности на к-рых выполняются классические однородные краевые условия и вектор некасателен к то по заданному г. п. можно найти отраженное или отраженное и преломленное г. п., к-рые в сумме будут формально удовлетворять краевым условиям. Пусть, напр., на выполняется краевое условие Дирихле тогда отраженное г. п. ищется в виде

Формальное выполнение краевого условия приводит к равенствам

Из первого условия следует классич. закон отражения лучей: "угол падения равен углу отражения". Равенства для задают начальные данные для уравнений переноса, к-рым удовлетворяют Таким образом, задание "падающей волны" полностью определяет отраженную волну (1). Аналогично рассматривается задача преломления на границе раздела двух сред.

В окрестности особенностей поля лучей г. п. неприменимо н приходится пользоваться более сложными разложениями, напр. тем или иным вариантом метода эталонных задач и дифракционного пограничного слоя (из вариантов последнего, по-видимому, наиболее важным является метод параболич. уравнения).

Дополненный указанным образом Л. м. позволяет строить формально высокочастотные разложения достаточно широкого класса дифракционных задач. Повидимому, практически всегда такие разложения являются асимптотическими разложениями решений. В такой общности это утверждение не доказано, установлена его справедливость лишь в частных случаях (когда удается построить явное решение или получить равномерную по со оценку нормы оператора, обратного к волновому при рассматриваемых условиях). Одномерным вариантом Л. м. является метод ВКБ, квантовомеханическим квазиклассическое приближение. Л. м. успешно применяется при изучении высокочастотных волн любой природы (напр., упругих, электромагнитных). Более далеким аналогом Л. м. является Л. м. для волн Рэлея, распространяющихся вдоль поверхности упругого тела произвольной формы, для волн на поверхности тяжелой жидкости, слабо изогнутых упругих или акустич. слоев и т. п.

Одно из обобщений получается, если г. п. заменить рядом:

Теорию таких разложений наз. пространственно-временной геометрич. оптикой, или теорией волн, модулированных как по частоте, так и по амплитуде. Разложения вида (2) применяют также и в том случае, когда уравнения, описывающие волновые процессы, не являются дифференциальными (диспергирующие среды). Разложения (2) используют как в случае дифференциальных, так и для псевдодифференциальных уравнений. Разработаны нелинейные аналоги (см. [2]).

Другие варианты Л. м. связаны с рассмотрением разрывных уравнений: во многих ситуациях разрывы описываются с помощью нестационарного варианта Л. м. и распространяются вдоль лучей. На нестационарном аналоге Л. м. основан т. н. метод Адамара исследования задачи Коши линейных гиперболич. уравнений 2-го порядка и его обобщения на системы линейных гиперболических дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений.

Лит.:[1] Б а б и ч В. М., Булдырев В. С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М., 1972; [2] У и з е м Д ж. Б., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., М., 1977; [3] Б о р о в и к о в В. А., К и н б е р Б. Е., Геометрическая теория дифракции, М., 1978. В. М. Бабич.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985