Математическая энциклопедия - магический квадрат

квадратная -таблица целых чисел от 1 до n², удовлетворяющая следующим условиям:

где s=n(n²+1)/2. Рассматриваются также более общие М. к., в к-рых не требуется, чтобы

Любое число а,однозначно характеризуется парой вычетов (a, b)по модулю п(цифрами по основанию пчисла а-1), т. е. точкой двумерного пространства над кольцом вычетов по модулю п. Поскольку координаты (i, j) клеток квадрата также можно считать элементами пространства отсюда следует, что любое распределение чисел от 1 до n² в квадратную -таблицу задается нек-рым отображением

т. е. парой функций от Задача состоит в исследовании таких пар, дающих М. к. В общем виде это сделано (см. [1]) только при дополнительном предположении линейности функций a и b. Оказалось, в частности, что М. к. с линейными функциями a и b существуют только при нечетных п.

Уже в средние века был известен ряд алгоритмов построения М. к. нечетного порядка п. Каждый такой алгоритм характеризуется шестью вычетами и описывается следующими правилами: 1) число 1 вписывается в клетку (i0, j0); 2) если число авписана в клетку (i, j), то число a+1 вписывается в клетку (i+p, j+q), если эта клетка еще свободна от чисел, и в клетку если клетка (i+p, j+q) занята.

Вычеты не могут быть произвольны, но должны удовлетворять определенным условиям, обеспечивающим не только выполнение условий (*), но и выполнимость алгоритма, т. е. пустоту клетки если занята клетка (i+p, j+q). Эти условия легко находятся (см. [1] с. 41), причем оказывается, что М. к. тогда и только тогда может быть построен алгоритмом такого вида, когда описывающие этот квадрат функции а, Р линейны.

Известно много других алгоритмов построения М. к. (приводящих к квадратам с нелинейными функциями а, Р), но никакой общей их теории нет (1982). Неизвестно даже общее число М. к. порядка n(при для n=3 существует, с точностью до очевидных симметрии, только один М. к., а для n=4 число М. к. равно 880).

Исследовались также М. к., обладающие дополнительными свойствами симметрии, Лишь опять в очень специальных ситуациях (напр., при см. [2]). Лит.:[1] П о с т н и к о в М. М., Магические квадраты, М., 1964; [2] Г у р е в и ч Е. Я., Тайна древнего талисмана, М., 1969. М. М. Постников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985