Математическая энциклопедия - мотивов теория

обобщение различных теорий когомологий алгебраич. многообразий. М. т. систематически обобщает идею использования якобиана алгебраич. кривой Xв качестве замены когомологий в классич. теории соответствий и использовании этой теории для изучения дзета-функции кривой Xнад конечным полем. М. т. универсальна в том смысле, что всякая геометрич. теория когомологий типа классич. сингулярных когомологий алгебраич. многообразий над полем с постоянными коэффициентами, l-адических когомологий для различных простых чисел l, отличных от характеристики основного поля, кристаллич. когомологий и т. п. (см. Вейля когомологий )является функтором на категории мотивов.

Пусть категория гладких проективных многообразий над полем контравариантный функтор глобальной теории пересечений из в категорию коммутативных -алгебр, где нек-рое фиксированное кольцо. Напр., кольцо Чжоу классов алгебраич. циклов на Xпо модулю подходящего (рационального, алгебраического, численного и т. п.) отношения эквивалентности, или кольцо Гротендика, или кольцо классов когомологий четной размерности и т. д. Категория и функтор позволяют определить новую категорию категорию соответствий , объектами к-рой являются многообразия обозначаемые через , а морфизмы определяются формулой

с обычным законом композиции соответствий (см. [1]). Пусть функтор Спринимает значения в категории коммутативных градуированных -алгебр , тогда категория будет -аддитивной категорией градуированных соответствий. Более того,будет обладать прямыми суммами и тензорными произведениями. Категория, объектами к-рой являются многообразия из , а морфизмами соответствия степени 0, обозначается . Из определен естественный функтор в , и функтор Спродолжается до функтора Тиз в . Категория , как и , не является абелевой. Рассматривается ее псевдоабелево пополнение категория , к-рая получается из формальным добавлением образов всех проектеров р. Точнее, объектами являются пары , где и это множество соответствий таких, что по модулю соответствий с

Категория вкладывается впосредством функтора Естественный функтор наз. функтором мотивных когомологий, а категорией эффективных мотивов.

Пусть , где екласс любой рациональной точки на проективной прямой . Тогда

Если проективизация локально свободного пучка Еранга r на Y, то

Вычислены также мотивы моноидального преобразования с неособым центром и мотивы кривых (см. [1]), мотивы абелева многообразия (см. [2]) и мотивы гиперповерхностей Вейля.

Категория мотивов получается из формальным добавлением отрицательных степеней мотива L. По аналогии с l-адическими когомологиями,наз. мотивом Тейта. Операция тензорного умножения на мотив Тназ. скручиванием с помощью мотива Тейта. Скручивание позволяет определить понятие уровня мотива, как в l-адических когомологиях. Любой функтор кого-мологий Вейля пропускается через функтор Имеется гипотеза, что в нек-ром смысле не зависит от теории пересечений Си что сам функтор является (универсальной) теорией когомо-логий Вейля. Эта гипотеза тесно связана со стандартными гипотезами Гротендика (см. [5]) об алгебраич. циклах (также пока, 1982, не доказанными).

Лит.:[1] Манин Ю. И., "Матем. сб.", 1968, т. 77, № 4, с. 475-507; [2] Шерменёв А. М., "Успехи матем. наук", 1971, т. 26, № 3, с. 215-16; [3] Dоmazurе М., Motives des varietes algebrique, Sem. Bourbaki, 365, P., 1969; [4] Кleiman S. L., Motives, "Proceeding of the 5-th Nordic Summer-School in Math. Algebraic geometry", Oslo, 1970, p. 52-82; [5] eго же, Algebraic cycles and the Weil conjectures, в кн.: Dix exposes sur la cohomologie des schemas, Amst. P., 1968.

В. А. Псковских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985