Математическая энциклопедия - независимость системы аксиом

свойство системы аксиом данной аксиоматич. теории, состоящее в том, что каждая аксиома является независимой, т. е. не является логическим следствием из множества остальных аксиом этой теории. Система аксиом, обладающая этим свойством, наз. независимой.

Независимость той или иной аксиомы данной аксиоматич. теории означает, что эту аксиому можно без противоречия заменить ее отрицанием. Иными словами, аксиома независима в том и только в том случае, если имеется интерпретация, при к-рой эта аксиома ложна, а все остальные аксиомы данной теории истинны. Построение такой интерпретации является классич. методом доказательства независимости.

При построении акспоматич. теории в виде формальной системы, где отношение логич. следования формализуется в виде понятия выводимости, аксиома считается независимой, если она не может быть выведена из других аксиом с помощью правил вывода данной формальной системы. Для широкого класса формальных систем (т. н. теорий 1-го порядка) независимость относительно выводимости совпадает с независимостью относительно логич. следования.

По отношению к формальным системам и вообще исчислениям имеет смысл говорить о независимости правил вывода. Правило вывода наз. независимым, если существует теорема данного исчисления, которая не может быть выведена без использования этого правила.

Н. с. а. сама по себе не является обязательным свойством аксиоматич. теории. Она лишь свидетельствует о том, что совокупность исходных положений теории не является избыточной, и представляет нек-рые технич. удобства. Однако исследования, посвященные Н. с. а., и доказательства независимости способствуют лучшему пониманию изучаемой теории. Достаточно вспомнить, какое влияние на развитие математики оказал вопрос о независимости пятого постулата Евклида в системе аксиом геометрии.

Лит.:[1] Новиков П. С, Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973; [2] Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., М., 1979; [3] Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966.

В. Е. Плиско.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985