Математическая энциклопедия - объемности аксиома

одна из аксиом теории множеств, утверждающая равенство двух множеств, если они содержат одни и те же элементы:

В языке, не содержащем символа равенства и имеющем только один предикатный символ , О. а. имеет вид

. Для формализации математики в системе Цермело Френкеля ZF О. а. не имеет существенного значения. Все, что может быть построено в рамках системы ZF, может быть формализовано в системе без О. а. Пусть ZF^-система ZF, получающаяся из ZF удалением О. а. и заменой в остальных аксиомах формул вида u = v на формулу

Тогда можно показать, что существует интерпретация системы ZF в ZF^-. Аналогичное утверждение справедливо и для теории типов.

Для системы NF Куайна, получающейся из теории типов "стиранием" типовых индексов, положение меняется: в системе NF^- невозможно интерпретировать систему NF. Система NF^- (NF без О. а.) довольно слабая теория, ее непротиворечивость доказуема в формальной арифметике. В то время как система NF не слабее теории типов с аксибмой бесконечности.

Лит.:[1] Handbook of Mathematical Logic, Amst.-N. Y.Oxf., 1977; [2] Вoffa M., "J. Symbol. Logic", 1977, v. 42, № 2, p. 215-20. В. Н. Гришин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985