Математическая энциклопедия - объемный потенциал

выражение вида

где Dконечная область евклидова пространства ограниченная замкнутой поверхностью (при N 2кривой) Ляпунова фундаментальное решение оператора Лапласа,

площадь единичной сферы в расстояние между точками хи у, элемент объема D.

Если то О. п. определен для всех . При этом в дополнительной области CD функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет Лапласа уравнению т. е. является гармонической функцией;при . эта функция регулярна на бесконечности, В области DО. п. и(х). принадлежит классу и удовлетворяет Пуассона уравнению.

Эти свойства обобщаются в различных направлениях. Напр., если в Dсуществуют обобщенные производные 2-го порядка от и(х)и почти всюду в Dудовлетворяется уравнение Пуассона Изучены также свойства О. п. произвольной меры Радона, сосредоточенной на N-мерной области D:

Здесь также почти всюду в D. где производная меры m по мере Лебега в . В определении (*) фундаментальное решение оператора Лапласа можно заменить на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го порядка Lс переменными коэффициентами класса ; при этом перечисленные выше свойства остаются в силе с заменой (см. [2]-[4]).

О. п. применяется при решении краевых задач для эллиптич. уравнений с частными производными (см. При решении краевых задач для параболич. уравнений используется также понятие объемного теплового потенциала вида

где фундаментальное решение уравнения теплопроводности в :

плотность. Функция и ее обобщения на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка имеют свойства, близкие к указанным выше для и(x)(см. [3] [6]).

Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Тихонов А. Н., Самарский Л. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [4] Смирнов В. И.. Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [6] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 196В.

Е. Д. Соломецев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985