Математическая энциклопедия - паскалева геометрия

геометрия плоскости, построенной над полем (коммутативным телом). Название этой геометрии связано с тем, что в этой геометрии на плоскости выполняется конфигурационное предложение Пап на Паскаля: если точки 1, 3, 5 и 2, 4, 6 соответственно лежат на прямых (коллинеарны), то точки пересечения пар прямых (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1) точки 9, 7, 8 также лежат на одной прямой при любом выборе системы образующих точек 1, 3, 5 на одной прямой и 2, 4, 6 на другой прямой, отличной от первой (см. рис.). Важнейший частный случай этого предложения (в аффинной плоскости) утверждает: из того, что прямая (4, 3) параллельна (6, 5) и прямая (6, 1)параллельна (2, 3), следует параллельность прямых (2, 5) и (4, 1).

П. г. плоскости может быть построена над бесконечными или конечными полями, соответственно этому плоскость наз. бесконечной или конечной паскалевой плоскостью.

Впервые важную роль предложения Паскаля в построении геометрич. систем над бесконечными полями исследовал Д. Гильберт (D. Hilbert, см. [1]), к-рый устанавливал доказуемость предложения Паскаля при различных наборах аксиом из системы аксиом евклидова пространства. Д . Гильберт показал, что Паскаля теорему в бесконечной плоскости можно доказать с помощью плоскостных аксиом инцидентности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности, причем было установлено, что без аксиом непрерывности в этом случае теорему Паскаля доказать нельзя.

Опираясь же на пространственные аксиомы системы Гильберта, теорему Паскаля можно доказать без аксиом конгруэнтности, но обязательно с применением аксиом непрерывности (исключение аксиом непрерывности в бесконечной плоскости приводит к непаскалевой геометрии). Возможность доказательства теоремы Паскаля аналогична в указанном смысле возможности доказательства Дезарга предложения с использованием пространственных аксиом, однако в доказательстве теоремы Паскаля проявляется особая роль аксиом непрерывности Архимеда в бесконечных плоскостях (см. Неархимедова, геометрия).

Предложение Паппа Паскаля проективно выполняется в нек-рой плоскости тогда и только тогда, когда умножение во всех натуральных телах этой плоскости обладает коммутативным свойством, или иначе: натуральное тело всякой паскалевой плоскости является полем и, наоборот, плоскость, построенная над полем, обладает П. г. Поэтому П. г. иногда наз. геометрией с коммутативным умножением. Таким образом, в паскалевой плоскости конфигурационное предложение Паппа Паскаля имеет алгебраич. инвариант, выражающий коммутативное свойство умножения в множестве, над к-рым построена эта плоскость.

В любой проективной плоскости теорема Паппа Паскаля влечет за собой предложение Дезарга.

Конечная паскалева плоскость как конечная проективная плоскость существует только в случае, если число точек, лежащих на каждой прямой этой плоскости, есть , где р - простое, s - натуральное число. Так как всякое конечное альтернативное тело является полем, то в конечной плоскости предложение Дезарга влечет за собой теорему Паппа Паскаля, причем последняя является следствием т. н. малой теоремы Дезарга. Вместе с тем существуют конечные проективные плоскости, являющиеся непаскалевыми. Паскалева плоскость изоморфна двойственной себе плоскости.

Значение П. г. определяется ее ролью при исследовании независимости системы аксиом, в частности системы аксиом Гильберта евклидовой геометрии. При построении бесконечной плоскости на основе групп аксиом инцидентности, порядка и параллельности предложение Паппа Паскаля должно рассматриваться как дополнительная аксиома. С другой стороны, с помощью комбинаций конечного числа конфигураций Паппа Паскаля оказывается возможным решить задачи на построение, в к-рых используется лишь понятие инцидентности и, может быть, параллельности.

Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.Л., 1948; [2] Вiebеrbасh L., Einleitung in die hohere Geometric, Lpz., 1933; [3] Скорняков Л. А., "Успехи матем. наук", 1951, т. 6, в. 6, с. 112-54; [4] Dembowski P., Finite geometries, В.[и. а.], 1968; [5] Reidemeister К., Grundlagen der Geometrie, В., 1930; [6] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1909.

Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985