Математическая энциклопедия - похгаммера уравнение

линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка вида

где m комплексная постоянная, Q(z), R(z) многочлены степени пи n-1 соответственно. П. у. было исследовано Л. Похгаммером [1] и К. Жорданом [2]. П. у. проинтегрировано с помощью Эйлера преобразования, и его частные решения имеют вид

(*)

где g нек-рый контур в комплексной плоскости t. Пусть все корни а 1, ..., а т многочлена Q(z).простые и вычеты функции R(z)/Q(z) в этих точках нецелые числа. Пусть а - фиксированная точка такая, что , и пусть gj простая замкнутая кривая с началом и концом в точке а, положительно ориентированная, к-рая содержит внутри себя только корень а j, j =1,..., т. Формула (*) дает решение П. у., если

из этих решений ровно m линейно независимы. Для построения остальных решений используются другие контуры, в том числе незамкнутые (см. [3], [4]). Вычислена группа монодромии П. у. (см. [3]).

Частными случаями П. у. являются уравнение Тиссо (см. [4]), то есть П. у., в к-ром

и Папперица уравнение.

Лит.:[1] Рос h hammer L., "Math. Ann.", 1889, Bd 35, S. 470-94; [2] Jordan C., Cornsd'analyse de 1'Ecolc Polytechnique, 3 ed., t. 3, P., 1915; [3] Айне Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Хар., 1939; [4] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976.

М. В. Федорюк.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985