Математическая энциклопедия - штифеля число

характеристическое число замкнутого многообразия, принимающее значения вычетов по модулю 2. Пусть произвольный стабильный характеристич. класс, М - замкнутое многообразие. Вычет по модулю 2, определяемый равенством наз. числом Штифеля (или Штифеля Уитни) многообразия М, соответствующим классу х. Здесь -касательное расслоение многообразия М, а фундаментальный класс. Для многообразий размерности n Ш. ч. зависят лишь от однородной компоненты степени пкласса х. Группа изоморфна векторному пространству над полем с базисом, находящимся во взаимно однозначном соответствии с множеством всех разбиений w={i1, ..... ik} числа п, т. е. наборов (i1, ..... ik) целых неотрицательных чисел с i1+ .....+ ik = n. В качестве базиса группы естественно взять классы Поэтому с точки зрения характеризации многообразия его Ш. ч. достаточно рассматривать классы где -разбиение размерности многообразия.

Бордантные многообразия имеют одинаковые Ш. ч., так что каждый характеристич. класс хопределяет гомоморфизм где -группа классов бордантных неориентированных многообразий размерности п. Если для двух замкнутых многообразий М, N имеет место равенство при всех разбиениях числа то многообразия Ми N бордантны (теорема Тома).

Пусть А- векторное пространство над полем Пусть -базис в пространстве А, дуальный базису пространства здесь -разбиения числа n; и пусть отображение определено формулой

Отображение мономорфно и для полного описания группы в терминах Ш. ч. нужно найти его образ. Эта проблема аналогична проблеме Милнора Хирцебруха для Чжэня классов. Для замкнутого многообразия Мпусть т. н. класс By, к-рый однозначно определен равенством имеющим место при всех Тогда где -касательное расслоение к М(теорема By).

Из этой теоремы видно, что класс By может быть определен как нек-рый характеристич. класс: пусть

где -полный Штнфеля-Уитни класс, а -когомологич. операция, обратная к полному Стинрода квадрату Sq. Пусть произвольный характеристич. класс. Тогда, для любого замкнутого многообразия числа и совпадают. Таким образом, для того чтобы элемент лежал в образе отображения необходимо, чтобы для всех имело место равенство Для гомоморфизма тогда и только тогда существует такое многообразие М ^п, что .[ М ^п]=а (х) при всех когда при всех (теорема Дольда). Лит. см. при статье Штифеля Уитни кла сс.

А. Ф. Харшиладзе.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985