Математическая энциклопедия - спрямляемая кривая

кривая, имеющая конечную длину. Пусть Г непрерывная параметрич. кривая в трехмерном евклидовом пространстве т. е. Г={x1=x1(t), x2=x2(t), x3=x3(t)}, ~ где xk(t), k=l, 2, 3 непрерывные на отрезке функции, произвольное разбиение отрезка и Aj(x1(tj), x2(tj), x3(tj)) порожденная им последовательность точек на кривой Г. И пусть Г п ломаная, вписанная в кривую Г и имеющая вершины в точках А 0, А1, . . ., А n. Длина этой ломаной

где

Величина

наз. длиной кривой Г. Длина s(Г) не зависит от способа параметризации кривой Г. Если то кривая Г наз. спрямляемой кривойи. С. к.

Г имеет касательную почти во всех своих точках A(x1(t),x2(t),x3(t)). т. е. почти при всех значениях параметра Изучение С. к. было начато Л. Шеффером [1] и продолжено К. Жорданом [2], к-рый доказал, что кривая Г спрямляема тогда и только тогда, когда все три функции xk(t), k=l, 2, 3, являются ограниченной вариации функциями на отрезке

Лит.:[1] Sсheеffеr L., лActa math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985