Математическая энциклопедия - тауберовы теоремы

теоремы тауберова типа,теоремы, устанавливающие условия, определяющие множество рядов (или последовательностей), на к-ром для двух данных суммирования методов А и В происходит включение Наиболее часто в теории суммирования рассматривается случай, когда метод Втождествен сходимости. В Т. т., относящихся к этим случаям, устанавливаются условия на ряд (последовательность), при к-рых из суммируемости ряда данным методом следует его сходимость. Назв. теорем восходит к А. Тауберу [1], впервые доказавшему две теоремы такого тина для Абеля метода суммирования:

1) если ряд

суммируем методом Абеля к сумме Sи то ряд сходится к S;

2) для того чтобы из суммируемости ряда (*) методом Абеля к сумме Sследовала сходимость этого ряда к сумме S, необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 1) была позднее усилена, а именно, было показано, что условие можно заменить на Условия, к-рые накладываются на ряд в этих случаях, помимо его суммируемости, наз. тауборовыми условиями.

Эти условия могут выражаться в различных формах. Наиболее распространенными для рядов (*) являются условия вида:

Н - постоянная,

а также их обобщения, где натуральный параметр пзаменен переменным tn. В Т. т. к таким условиям, помимо приведенных выше, относятся, напр., следующие: если ряд (*) суммируем методом Бореля к сумме

Sи то ряд сходится к S.

Для каждого регулярного матричного метода суммирования существуют числа такие, что и условие является тауберовым для этого метода (т. е. из суммируемости ряда этим методом и условия следует сходимость ряда).

Тауберовы условия могут выражаться через оценки частичных сумм Sn ряда или оценки разности Sn-Sm при определенных соотношениях между пи т. Примерами Т. т. с такими условиями являются следующие: если ряд (*) с частичными суммами Sn суммируем методом Бореля к сумме Sи

то ряд сходится к S;если ряд (*) суммируем методом Абеля к сумме Sи его частичные суммы Sn удовлетворяют условию Sn=0(1), то он суммируем к Sметодом Чезаро ( С,1).

Тауберовьш условием может служить лакунарность ряда: а n=0 при п=п k условие в этом случае выражается через свойства последовательности {nk}.

Кроме обычной суммируемости, в теории суммирования рассматриваются Т. т. для специальных видов суммируемости (абсолютной, сильной, суммируемости со скоростью и др.).

Лит.:[1] Tauber A., лMonats. Math, und Physik

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985