Математическая энциклопедия - унарная алгебра

уноид,универсальная алгебра с семейством унарных операций

Важный пример У. а. дает групповой гомоморфизм произвольной группы Gв группу SA всех подстановок множества А. Такой гомоморфизм наз. действием группы . на А. Определяя унарную операцию для каждого элемента как подстановку из SA, отвечающую элементу gпри гомоморфизме получают У. а. в к-рой

Структуру У. а. несет на себе любой модуль над кольцом. Каждый детерминированный полуавтомат с множеством состояний . и входными символами a1, . . ., а п также можно рассматривать как У. а. <S, f1, . . ., fn>, в к-рой fi(s)=ais есть состояние, следующее за состоянием sв зависимости от входного символа ai.

У. а. с одной основной операцией наз. моноунарной, или унаром. Примером унара может служить алгебра Пеано <Р, f>, где Р={1,2,. . .} и f(n)=n+1.

Тождества произвольной У. а. могут быть лишь следующих типов:

Тождество II2 равносильно тождеству II, выполнимому лишь в одноэлементной алгебре. Многообразие У. а., определяемое лишь тождествами вида Il, I2 или I3, наз. регулярно определимым. Существует следующая связь между регулярно определимыми многообразиями У. а. и полугруппами (см. [1], [3], [4]).

Пусть V - регулярно определимое многообразие У. а., заданное множеством функциональных символов и множеством тождеств. Каждому символу fi сопоставляется элемент а i, а для каждого тождества вида I1 из выписывается определяющее соотношение

Пусть Р - полугруппа с порождающими и выписанными определяющими соотношениями, a Р¹ полугруппа . свнешне присоединенной единицей е. Для каждого тождества вида I2 из (если такие имеются) выписывают определяющее соотношение Полугруппу Р V, получаемую из Р ¹ присоединением всех таких определяющих соотношений, и считают соответствующей многообразию V. Она во многом характеризует это многообразие. Если содержит лишь тождества вида Il, то можно ограничиться построением лишь полугруппы Р. Определяя в Р V унарные операции fi(x)=xai, получают У. а. к-рая является V-свободной алгеброй ранга 1. Группа всех автоморфизмов У. а. изоморфна группе обратимых элементов полугруппы Р V.

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Биркгоф Г., Барти Т., Современная прикладная алгебра, пер. с англ., М., 1976; [3] Смирнов Д. М., лАлгебра и логика

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985