Математическая энциклопедия - волновое уравнение

уравнение с частными производными вида

описывающее различные колебательные процессы и процессы распространения волн. Для В. у., являющегося уравнением гиперболич. типа, обычно ставятся две задачи: Коши задача и смешанная задача.

Классич. решением задачи Коши, описывающей распространение волн в n-мерном евклидовом пространстве Е", наз. функцию к-рая: непрерывно дифференцируема в -мерном полупространстве (, ); дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В. у. в полупространстве (); удовлетворяет начальным условиям

где и заданные функции.

Классич. решением смешанной задачи, описывающей колебания ограниченного объема , наз. функцию к-рая: непрерывно дифференцируема в замкнутом цилиндре ; дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В. у. в открытом цилиндре ; удовлетворяет для начальным условиям

и удовлетворяет к.-л. краевому условию на "боковой" поверхности указанного цилиндра.

Классич. решение задачи Коши для достаточно гладких и дается так наз. Пуассона формулой, к-рая при n=1 переходит в Д'Аламбера формулу. В случае, когда в правой части В. у. вместо нуля стоит заданная функция это уравнение наз. неоднородным В. у. и решение его дается так наз. Кирхгофа формулой. Смешанная задача для В. у. решается методом Фурье, методом конечных разностей и методом преобразования Лапласа.

Наряду с изучением указанных задач в приведенной выше классич. постановке рассматриваются вопросы существования и единственности классич. решений, понимаемых в более слабом смысле (см. [4]), а также обобщенных решений как задачи Коши, так и смешанной задачи (см. [2], [3]).

Лит.:[1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М.. 1966; [2] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [3] Ладыженская О. А., Смешанная задача для гиперболического уравнения, М., 1953; [4] Ильин В. А., "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в. 2 (92), с. 97-154; [5] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962. Ш. А. Алимов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985