Математическая энциклопедия - введения параметра метод

метод представления правой части системы дифференциальных уравнений

в виде

где означает главную (в том или ином смысле) часть вектор-функции , а совокупность членов второстепенного значения. Разбиение на и gобычно диктуется физич. или аналитич. смыслом задачи, описываемой системой (1). Наряду с (1) рассматривают систему с параметром

к-рая при обращается в вырожденную систему

Если и голоморфны в окрестности точки , то система (2) при достаточно малых по модулю значениях имеет решение к-рое в окрестности начальных значений предста-вимо в виде ряда по степеням :

(в нек-рых случаях для задают и ненулевые начальные значения). Если ряд (4) сходится при , то он доставляет решение системы (1) с начальными значениями . Для фактического построения коэффициентов jn достаточно располагать общим решением системы (3) и частным решением любой системы

где голоморфна в окрестности .

В частности, все последовательно определяются с помощью квадратур, если , где А - постоянная матрица.

Особенно широко В. п. м. используется в теории нелинейных колебаний [3] при построении периодич. решений системы (1). См. также Малого параметра метод. В. п. м. был использован П. Пенлеве для выделения дифференциальных уравнений 2-го порядка, решения к-рых не имеют подвижных критических особых точек (см. Пенлеве уравнение). Справедливо утверждение: системами с неподвижными критич. точками могут быть лишь такие системы (1), к-рые после введения подходящего параметра имеют в качестве вырожденных систем (3) системы без подвижных критич. особенностей. В. п. м. широко применяется для построения новых классов существенно нелинейных дифференциальных систем (1) без подвижных критических особых точек и для исследования систем указанных классов (см. Особая точка дифференциального уравнения).

Лит.:[1] Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., М., 1971, т. 1, с. 9-456; [2] Ляпунов А. М., Собр. соч., М.-Л., 1956, т. II, с. 7-263; [3] Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М., 1974; [4] Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.Л., 1950; [5] Еругин Н. П., "Дифференц. уравнения", 1967, т. 3,№ 11, с. 1821-63.

Ю. С. Богданов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985