Математическая энциклопедия - зацепления коэффициент

целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам z^k-1 и z^n-k в многообразии Мразмерности га, классы гомологии к-рых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологиях Н k-1( М, Z) и Hn_k(M, Z )соответственно. Простейшим примером является 3. к. двух непересекающихся замкнутых спрямляемых кривых L1, L2 пространства R³, выражаемый так наз. интегралом Гаусса:

(здесь х 1 и х 2радиус-векторы L1 и L2).

Понятие 3. к. обобщается на случай замкнутых ориентированных многообразий M^k-1 и M^n-k, расположенных в пространстве Rⁿ: З. к. равен степени отображенияc ориентированного прямого произведения в сферу где c( х, у), есть точка пересечения с S^n-1 луча, отложенного параллельно вектору ( х, у )от начала координат. 3. к. равен пересечения индексу любой k-мернойцепи С ^k, для к-рой дС ^k=az^k-1, с циклом z^n-k, деленному на а. Это число не зависит от выбора пленки С ^k. Если поменять ролями циклы z^k-1 и z^n-k, то 3. к. умножится (в ориентируемом случае) на (-l)^k(n-k). Если заменить любой из циклов на гомологичный ему в дополнении к другому, то 3. к. не изменится. Этот факт является основой при интерпретации Александера двойственности с помощью зацеплений. При замене одного из циклов на любой гомологичный с ним 3. к. изменяется на целое число, благодаря чему определено спаривание подгрупп кручения в Hk-1(M, Z) и Н п-k( М, Z )со значениями в факторгруппе Q/Z" где Qрациональные числа. Это спаривание устанавливает между ними Понтрягина двойственность. В частности, для подгруппы кручения в Н т( М,Z) в случае n=2m+1 этим задается невырожденная квадратичная форма самозацеплений со значениями в Q/Z к-рая является гомотопич. инвариантом многообразия. Напр., с ее помощью впервые были обнаружены асимметричные многообразия, а именно, нек-рые линзовые многообразия.

3. к. рассматриваются также в случае других областей коэффициентов, напр., если на многообразии действует свободно группа л, то группы гомологии являются групповыми модулями, и значение 3. к. определено в соответствующим образом локализованном групповом кольце.

Лит.:[1] Зейферт Г., Трельфаллй В., Топология, пер. с нем., М.-Л., 1938; [2] Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976.

А. В. Чертовский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985