Философская энциклопедия - формализм в математике

ФОРМАЛИЗМ в математике

одно из осн. направлений в основаниях математики (и логики), к-рое в качестве гл. задачи в области обоснования математики считает доказательство непротиворечивости отд. математич. теорий и – в идеале – всей математики в целом. Задача эта приобрела особенно актуальный характер после обнаружения парадоксов (антиномий, противоречий) теории множеств – дисциплины, лежащей в фундаменте большей части математики. Поскольку парадоксы (напр., парадокс Рассела) могут быть сформулированы и в чисто логич. терминах, аналогичная проблема возникает и по отношению к логике (во всяком случае – по отношению к расширенному предикатов исчислению). Под Ф. в литературе обычно понимают несколько близких, но все же различных концепций.

Самая ранняя формалистская программа, развиваемая школой Д. Гильберта начиная с 1904, выдвинула идею формализации логико-математич. теорий, т.е. представления их в виде (неинтерпретированных) исчислений (формальных систем), непротиворечивость к-рых может (и должна) быть затем установлена средствами нек-рой содержательной теории, названной Гильбертом м е т а м а т е м а т и к о й (или теорией доказательств) (подробнее см. Метатеория, Метод аксиоматический).

В дальнейшем абсолютизация идеи формализации, отождествление теории и исчисления привели к крайней формалистской концепции, подверженной наибольшим возражениям гносеологич. характера. Она состоит в том, что предложения теории сами по себе вообще ничего не означают, не имеют никакого смысла, что науч. теория как таковая есть всего лишь "игра со знаками", а пригодность ее обеспечивается формальным доказательством непротиворечивости (именно против этого тезиса направлена в первую очередь материалистич. критика Ф.). Однако сам Гильберт, имевший в виду приложимость математики к физике, отнюдь не считал "бессодержательность" математич. теорий обязательным тезисом Ф.

Различая в каждой конкретной теории предложения "действительные" (имеющие или допускающие содержательную интерпретацию) и "идеальные" (не имеющие таковой), он считал только чрезмерным требование интерпретируемости к а ж д о г о предложения, ссылаясь, в частности, на пример теоретич. физики, интересующейся не столько интерпретациями отд. предложений, сколько согласованием с действительностью всего ее теоретич. описания в целом. Идеальные предложения – при условии, что их введение не приводит к противоречиям,– позволяют во мн. случаях упростить общую структуру теории. С точностью до терминологии, разделение предложений на действительные и идеальные принимается по существу всеми школами оснований математики, и расхождения между ними касаются гл. образом вопроса о роли идеальных предложений (для подавляющего же большинства математиков эта проблема вообще не встает: анализ допущений, из к-рых исходит генезис изучаемых ими объектов, являющихся, как правило, результатом неск. ступеней абстракции и идеализации – и уже потому не истолковываемых непосредственно в нематематич. терминах,– просто не входит в их задачу).

Под Ф. часто понимают также идущую от Гильберта гипотезу о возможности полной (см. Полнота) и непротиворечивой формализации всей классич. математики. [В духе известного тезиса Лейбница о "замене рассуждения вычислением", на реализацию к-рого по существу претендовал Ф., естественно было бы рассчитывать, что такая формализация приведет к разрешимому (см. Разрешения проблемы) исчислению или хотя бы к совокупности таких исчислений; однако этой иллюзии представители Ф. не питали с самого начала]. Доказанная К. Гёделем (1931) теорема о неполноте аксиоматич. арифметики, часто трактуемая как "опровержение Ф.", опровергает фактически лишь упомянутую гипотезу Гильберта (и не имеет непосредственного отношения к сформулированной выше крайне формалистич. доктрине, достаточно оспоримой и самой по себе). Предпринятые рядом ученых (В. Аккерманом, Г. Генценом, П. С. Новиковым, Г. Шютте и др.) успешные поиски "конструктивных" средств, позволяющих получить метатеоретич. доказательства различных разделов формальной математики, в т.ч. классич. арифметики, в обход трудностей, обусловленных теоремой Гёделя (к числу таких средств относятся, напр., нек-рые формы бесконечной индукции), ревизуют не столько Ф. в целом, сколько финитизм – ту часть концепции Гильберта, к-рая строго кодифицирует допустимые для метатеоретич. исследований методы доказательства.

Наконец, Ф. принадлежит идея рассматривать не-интерпретированные исчисления сами по себе, независимо от вопроса о к.-л. их интерпретации или даже возможности интерпретации. Осознание возможности чисто формального рассмотрения логики (идея, провозглашенная, но не осуществленная до конца еще Аристотелем) и логико-математич. исчислений, важнейшие результаты, относящиеся к познанию "техники нашего мышления", полученные представителями школы Гильберта, и развитый ими аппарат давно и прочно вошли в арсенал математич. логики и широко используются всеми математиками и логиками, в т.ч. и находящимися в резкой оппозиции к т. зр. Ф. в целом: логицистами (см. Логицизм), интуиционистами (см. Интуиционизм), конструктивистами (см. Конструктивное направление). Проведенный Гильбертом и его последователями скептический анализ теоретико-множеств. абстракций (в первую очередь – абстракции актуальной бесконечности) серьезно подорвал доставшуюся математике от "наивной" теории множеств конца 19 в. платонистскую веру в "реальность" результатов этих абстракций. И хотя предпринятая Ф. "логическая реабилитация" методов, связанных с принятием актуально бесконечных множеств в качестве допустимых мыслимых объектов ("идеальных"), является, напр., с т. зр. последовательных интуиционистов непростительным оппортунизмом, такая "компромиссная" позиция вполне устраивает по существу всех классически настроенных математиков, в т.ч. и охотно критикующих "формалистические извращения", избавляя их и от необходимости соблюдать суровую диету интуиционистски приемлемых методов, и от окрашенных агностицизмом сомнений в осмысленности их деятельности.

Лит.: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948, добавления 6–10; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 8, 14, 15, 42, 79 (имеется библ.); Новиков П. С., Элементы математич. логики, М., 1959 (введение); Генцен Г., Непротиворечивость чистой теории чисел, пер. с нем., в кн.: Математическая теория логического вывода, М., 1967, с. 77–153. См. также лит. при ст. Математика, Математическая бесконечность, Математическая логика.

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.