Философская энциклопедия - принцип исключенного третьего

ПРИНЦИП ИСКЛЮЧЕ́ННОГО ТРЕ́ТЬЕГО

(распространенное лат. название – tertium non datur) – логич. закон, состоящий в том, что для всякого высказывания Л истинно по крайней мере одно из двух высказываний: само А или его отрицание (символически пишется A∨A и читается: А или не-A). Логич. связка ∨ ("или") является неразделительной. Утверждение о несовместимости А и А составляет содержание другого логич. закона, именуемого противоречия законом (символически выражаемого формулой (А&А)). Оба эти закона были впервые сформулированы Аристотелем в его "Метафизике" (IV, 8); в применении к атрибутивным высказываниям вида "В есть С" они рассматривались также в его "Аналитиках". Впоследствии эти законы наряду с тождества законом ("А есть А") были приняты схоластами в качестве осн. законов логики. Значение одного из важнейших логич. принципов П. и. т. сохраняет и в математической логике. Вопрос о всеобщей (независимой от области исследования) применимости П. и. т. вызвал много дискуссий по причине, в силу к-рой П. и. т. следует считать более спорным, чем др. законы классич. формальной логики. Напр., в истинности закона, выражаемого аксиомой A&B⊃A ("из А и В следует A"), не удается усомниться, по крайней мере до тех пор, пока слова "и" и "следует" употребляются в их естеств. смысле. То же самое относится, хотя и в различной степени, к др. законам классич. логики, отличным от П. и. т. (и близкого к нему закона снятия двойного отрицания, выражаемого символически формулой A⊃A). Конечно, это утверждение связано с выбором интерпретации логич. операторов, участвующих в формулировке логич. закона. При соответств. выборе интерпретации, особенно для импликации ("если..., то" или "следует"), становятся спорными или даже неверными и нек-рые др. законы классич. логики. Напр., закон Α⊃(Β⊃Α) ("если А, то А следует из B") теряет силу, если понятие логич. следования A из В истолковывается т.о., что оно включает в себя к.-л. смысловую или причинную связь между А и В, как это бывает в системах строгой импликации. Вместе с тем этот закон верен, если "A следует из В" истолковывается в смысле "A должно быть верно в предположении В". Именно эта интерпретация для импликации (логич. следования) используется в дедуктивных науках. В силу самого выбора такой интерпретации для логич. операторов, все законы классич. логики, за исключением П. и. т., оказываются убедительными. Правда, это утверждение нуждается в нек-рых оговорках, важнейшая из к-рых состоит в том, что закон Α&Α⊃Β (из противоречия следует произвольное утверждение) требует для своего обоснования либо нек-рого расширения рассматриваемой интерпретации импликации, либо нек-рого спец. выбора интерпретации для отрицания, возможного в случае арифметики и сводящихся к ней наук, но не обязательно возможного в случае произвольной дедуктивной науки. И все же, за исключением П. и. т., остальные законы логики могут быть обоснованы – по крайней мере в их применимости к математике – путем одного только надлежащего и притом естеств. выбора интерпретации для тех логич. операторов, к-рые входят в их формулировку. Такое обоснование можно считать предшествующим логике и относить к области семантики, прагматики, сигнифики или психологии.

По отношению к П. и. т. это не имеет места, так как обоснование утверждения A∨A не сводится к одной лишь естеств. интерпретации для "или" и "не", а предполагает постулат двузначности: всякое высказывание должно быть истинным или ложным. Очевидно, что ссылка на этот или подобный постулат в обосновании П. и. т. содержала бы в себе petitio principii. Правда, убеждение в том, что все высказывания разбиваются на два класса – истинных и ложных т.о., что из двух высказываний A и не-A одно является истинным (а другое ложным) и притом класс истинных высказываний содержит в себе также все логич. следствия из истинных высказываний, является весьма обычным. Однако в свете совр. представлений о науч. строгости подобные предложения должны не постулироваться, а доказываться. Такое доказательство оказывается невозможным, в частности по отношению к любым высказываниям математики.

Критику применимости законов классич. логики – и прежде всего П. и. т. – в математике начал в 1908 г. голл. математик Л. Э. Брауэр. Согласно т. зр. Брауэра, если высказывание А выражает не доказанное и не опровергнутое до сих пор утверждение, то прежде чем утверждать истинность A∨A, надо предварительно доказать или опровергнуть А или хотя бы указать путь, ведущий к решению этой задачи. Ясно, что при такой постановке вопроса высказывание A∨A оказывается совершенно неочевидным, косвенные же его доказательства используют как раз П. и.т., т.е. содержат в себе petitio principii. Брауэровская критика П. и. т., по-видимому, не была беспрецедентной в истории логики. Уже Аристотель в одном месте своего трактата "Об истолковании" (De interpretatione, 9, 19а, 24–34) говорит о неприменимости П. и. т. к будущим событиям. Аристотель рассматривал в этой связи в качестве примера неразрешимую, по его словам, дизъюнкцию: "Завтра будет морская битва или ее завтра не будет", относительно истинности или ложности каждого члена к-рой нельзя ничего сказать (см. также А. С. Ахманов, Логическое учение Аристотеля, М., 1960, гл. 6). В 14 в. Оккам рассматривал импликации с неопредел. высказываниями, напр. импликацию "Если бог знает, что А произойдет, то А произойдет", и обратную ей, обсуждая вопрос о значении этой импликации для случая, когда высказывание "А произойдет" является неопределенным. Но до Брауэра споры вокруг П. и. т. не связывались с основаниями математики – важнейшей науки, имеющей логич. характер. Характерно, что Брауэр, возродив эту старую дискуссию в связи с основаниями математики, оспаривал применимость П. и. т. как раз для таких высказываний, к-рые он мог считать неопределенными или неосмысленными.

Критика Брауэра положила начало новому течению в философии математики – интуиционизму. Гливенко и голл. математик Гейтинг предложили системы аксиом логики, приемлемых с т. зр. интуиционизма. Эти системы оказались эквивалентными и получили название интуиционистской логики, к-рая в последние годы стала называться также конструктивной. В отсутствии П. и. т. состоит их единств, отличие от классич. логики. Интуиционистская логика легла в основу мн. позднейших исследований по основаниям математики. В СССР развилось конструктивное направление, логикой к-рого является интуиционистская логика или нек-рая другая, близкая к ней, также не содержащая П. и. т.

В 1945 Клини предложил конструктивистскую интерпретацию логич. операторов, к-рая получила название реализуемости. С помощью этой интерпретации интуиционистски доказывается ложность П. и. т., в форме ∀х(А(х)∨А(х)) (для нек-рой арифметич. Формулы А(x). Эта формула, однако, не подпадает под рассматривающуюся до сих пор (аристотелевскую) формулировку П. и, т., так как при наличии свободной переменной x формула А(х) не выражает никакого высказывания). С др. стороны, еще в 1930 Гёдель доказал, что, если (просто) непротиворечива (см. Непротиворечивость) арифметика, основанная на интуиционистской логике, то и присоединение к ней П. и. т. не приводит к противоречию, т.е. в этом случае (просто) непротиворечива и классич. арифметика. Этот результат относится к формальным системам, основанным на аксиомах, приемлемых с классич. т. зр.; так что отрицание формулы Vх(А(х)vА(х)), т.е. Vх(А(х)vА(х)), не может среди них содержаться. Доказательство Гёделя основано на таком выборе интерпретации формул AvB и ΞxA, при к-ром они истолковываются как (А&В) и VхА, в связи с чем и для П. и. т. оказывается возможным по крайней мере в применении к арифметике обоснование, основанное на интерпретации логич. операторов. Это обоснование нельзя, однако, считать естественным, ибо формулы AvB и (A&B), эквивалентные классически, не эквивалентны интуиционистски (интуиционистски только первая из них имплицирует вторую). Использование их эквивалентности для обоснования естественности только что указанной интерпретации для дизъюнкции дало бы petitio principii при попытке обоснования П. и . т. С помощью этой интерпретации. Поэтому, ограничиваясь естеств. интерпретациями, результат Гёделя следует рассматривать лишь как (относительное) доказательство непротиворечивости П. и. т., а не как обоснование самого П. и. т., хотя бы в применении к арифметике.

Т. о., П. и. т. представляется теперь спорным законом логики, более того, в нек-рых рассуждениях его следует считать ложным. Тем не менее П. и. т. продолжают применять: 1) В исследованиях, не выходящих за пределы конечных областей, по отношению к к-рым П. и. т. считается истинным, а в пределах интуиционистской критики и в др. случаях, когда результаты конструктивного анализа позволяют применять П. и. т. 2) В тех разделах математики, к-рые игнорируют интуиционистскую критику (совокупность этих разделов образует т.н. классич. математику; сюда же относятся нек-рые разделы математич. логики). 3) В тех исследованиях по математич. логике, где П. и. т. рассматривается безотносительно к своей истинности в качестве логич. закона; как, напр., в совр. классич. исчислении высказываний, где рассмотрение формулы А∨А в качестве аксиомы или исходной формулы нек-рого вывода вовсе не предполагает со стороны исследователя отношения к П. и. т. как к содержательно понимаемому закону логики (см. также Мышления законы).

А. С. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.