Математическая энциклопедия - абсолютная суммируемость

специальный вид суммируемости рядов и последовательностей, выделяемый из обычной суммируемости наложением дополнительных условий. В матричном методе суммирования эти условия состоят в требовании абсолютной сходимости рядов или последовательностей, полученных в результате преобразования, соответствующего данному методу суммирования. Пусть метод суммирования Аопределен преобразованием последовательности в последовательность посредством матрицы

тогда последовательность абсолютно суммируема методом к пределу s, если она A-суммируема к этому пределу, т. е.

и последовательность имеет ограниченную вариацию:

Если являются частичными суммами ряда

то в этом случае ряд (2) абсолютно суммируем методом Ак сумме s. Условие (1) и есть то дополнительное условие, к-рое выделяет в этом случае А. с. из обычной суммируемости. Аналогично определяется А. с. для методов, определяемых матричными преобразованиями рядов в последовательности. Если же метод суммирования определен преобразованием ряда (2) в ряд

посредством матрицы

то дополнительное условие здесь состоит в требовании абсолютной сходимости ряда (3). В частном случае, когда методу Асоответствует тождественное преобразование последовательности в последовательность или ряда в ряд, А. с. ряда совпадает с его абсолютной сходимостью.

Для нематричных методов суммирования соответствующие дополнительные условия надлежащим образом видоизменяются. Так, для Абеля метода суммирования таким условием является требование, чтобы функция

имела ограниченную вариацию на полуинтервале 0<=x<1. Для интегральных методов суммирования А. с. выделяется требованием абсолютной сходимости соответствующих интегралов. Так, в Бореля методе суммирования должен абсолютно сходиться интеграл

Метод суммирования наз. сохраняющим абсолютную сходимость ряда, если он абсолютно суммирует каждый абсолютно сходящийся ряд. Если каждый такой ряд суммируем этим методом к той же сумме, к к-рой он сходится, то метод наз. а б-солютно регулярным. Напр., Чезаро метод суммирования абсолютно регулярен при Метод Абеля абсолютно регулярен. Необходимыми и достаточными условиями абсолютной регулярности метода суммирования, определенного преобразованием ряда в ряд посредством матрицы являются условия:

(теорема КноппаЛоренца). Имеются аналоги этих условий и для методов суммирования, определяемых преобразованиями других видов.

Обобщением А. с. является абсолютная суммируемость в степени Дополнительным условием, выделяющим А. с. в степени риз обычной суммируемости, напр., для метода суммирования, заданного преобразованием последовательности в последовательность является условие:

Понятие А. с. введено Э. Борелем (Е. Borel) для одного из его методов в формулировке, отличной от современной: А. с. выделялась требованием

для каждого А. с. применялась первоначально при исследовании суммируемости степенных рядов вне круга сходимости. В связи с вопросами умножения суммируемых рядов была определена и исследовалась А. с. методами суммирования Чезаро ( суммируемость). Общее определение А. с. возникло позже и получило широкое применение в исследованиях по суммированию рядов Фурье.

Лит.:[1] Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [2] Kogbetliantz E., Summation des series et integrates divergentes par les moyennes arlthmetiques et typiques, P., 1931; [3] Knopp K., Lorentz G. G., "Arch. Math.", 1949/50, Bd 2, S. 10 16; [4] Кангро Г. Ф., в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974. И. И. Волков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985