Математическая энциклопедия - аксиоматизируемый класс

класс однотипных моделей, определяемый системой аксиом. Класс Кмоделей формального языка Lназ. аксиоматизируемым (конечно аксиоматизируемым), если существует (конечная) система замкнутых формул языка Lтакая, что Ксодержит те и только те модели, на к-рых определены и истинны все формулы из (см. Алгебраическая система). Класс моделей рекурсивной сигнатуры наз. рекурсивно аксио-матлзируемым, если он может быть задан рекурсивным множеством аксиом.

Многие классы алгебраич. систем, изучаемых в математике, определяются системой аксиом языка 1-й ступени. Напр., классы всех булевых алгебр, всех групп, всех полей, всех решеток являются конечно аксиоматизируемыми. Классы всех групп без кручения, всех полей характеристики 0, всех алгебраически замкнутых полей рекурсивно аксиоматизируемы, хотя не конечно аксиоматизируемы. Теория А. к. выявляет закономерности, общие для всех классов объектов, определяемых с помощью данного языка; она хорошо разработана для языка 1-й ступени, поэтому далее речь идет только о таких классах и формулах.

Две модели наз. элементарно эквивалентными, если всякая формула языка 1-й ступени, истинная в одной из них, истинна и в другой. Модель наз. элементарным расширением модели если всякая формула, определенная и истинная в будет истинной в

Элементарно замкнутый класс Кмоделей наз. полным, если все его модели элементарно эквивалентны между собой. Каждый А. к. моделей является суммой попарно непересекающихся полных классов. Класс наз. категоричным в мощности m, если все его модели мощности m изоморфны. Полный класс моделей счетной сигнатуры, категоричный в несчетной мощности, будет категоричным во всех несчетных мощностях, но может быть некатегоричным в счетной мощности; и в этом случае класс имеет счетное число попарно неизоморфных счетных моделей. Для любого n№2существует полный А. к., имеющий ровно пнеизоморфных счетных моделей.

А. к. моделей Кназ. разрешимым, если существует алгорифм, позволяющий для каждой замкнутой формулы языка Lуказать, истинна или нет она на каждой модели К. Связь полных, категоричных и разрешимых классов дает теорема: если Ккатегоричен в бесконечной мощности и не имеет конечной модели, то он полон. Полный рекурсивно А. к. моделей разрешим.

Обобщениями А. к. являются редукционные классы и проективные классы. Проективные классы определяются аксиомой 2-й ступени, имеющей вид:

где предикатные переменные, формула сигнатуры Многие свойства А. к. переносятся на эти классы.

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] его же, в кн.: Тр. 4-го Всесоюзн. матем. съезда т. 1, Л., 1963, с. 169-98. А. Д. Тайманов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985