Математическая энциклопедия - архимедова группа

частично упорядоченная группа, в к-рой выполняется аксиома Архимеда: из того, что для всех целых ( - элементы А. г.), следует, что а - единица группы (в аддитивной записи: из для всех целых пследует, что ). Для линейно упорядоченных А. г. существует следующее описание (теорема Гёльдера): линейно упорядоченная группа тогда и только тогда архимедова, когда она изоморфна нек-рой подгруппе аддитивной группы действительных чисел с естественным порядком. Таким образом, аддитивная группа всех действительных чисел является, в нек-ром смысле, самой большой линейно упорядоченной А. г. Всякая линейно упорядоченная А. г. коммутативна. Линейно упорядоченная группа без нетривиальных выпуклых подгрупп - архимедова.

Лит.:[1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [2] Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [31 Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.

А. И. Кокорин, В. М. Копытов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985