Математическая энциклопедия - бемольная форма

измеримая r-мерная дифференциальная форма на открытом множестве такая, что:

комасса для нек-рого ;

существует с

для любого симплекса , удовлетворяющего условию: существует измеримое такое, что измерима на и на любой из его граней , составляющих , причем

здесь означает -мерную меру Лебега пересечения множества Мс нек-рой s-мерной плоскостью.

Если Xесть r-мерная бемольная коцепь в Л, то существует ограниченная -мерная форма в R, измеримая в любом симплексе относительно плоскости, содержащей , и

причем

где комасса коцепи X. Обратно, любой г-мерной Б. ф. в соответствует но формуле (1) единственная r-мерная бемольная коцепь для любого симплекса , удовлетворяющего вышеуказанному условию, причем

Форма и коцепь Xназ. ассоциированным и. Формы, ассоциированные с одной и той же коцепью, эквивалентны, т. е. равны почти всюду в R, и среди них есть бемольный представитель.

Между n-мерными бемольными коцепями Xи классами эквивалентных измеримых ограниченных функций существует взаимно однозначное соответствие, при к-ром , а

где последовательность -мерных симплексов, стягивающихся к точке так, что их диаметры ,

но

при нек-ром для всех объем

Пусть измеримая суммируемая функция в R, значениями к-рой являются r-векторы; она наз. соответствующей r-мерной бемольной цепи А, если

для всех r-мерных бемольных коцепей X(и тогда Аназ. лебеговой цепью). Отображение является линейным взаимно однозначным отображением множества классов эквивалентности функций в пространство бемольных цепей , причем где масса цепи масса r- вектора . Кроме того, множество образов непрерывных функций плотно в .

Представления (1) и (2) обобщают аналогичные результаты для диезных форм и диезных коцепей; напр., дифференциал Б. ф. , определяемый формулой , является также Б. ф., и выполнена теорема Стокса: для любого симплекса ; r-мерная бемольная коцепь слабый предел гладких коцепей, т. е. таких, для к-рых ассоциированные формы со являются гладкими, и т. д.

Лит.:[1] Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960. М. И. Войиеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985