Математическая энциклопедия - бифуркация

термин, употребляемый в нек-рых разделах математики применительно к ситуации, когда нек-рый объект зависит от параметра (не обязательно скалярного) и в любой окрестности нек-рого значения последнего (бифуркационное значение, или точка Б.) исследуемые качественные свойства объекта не являются одинаковыми для всех . Соответствующие точные определения различны в различных случаях, но в общем они следуют (с теми или иными модификациями) двум вариантам:

а) Изучаемые качественные свойства объекта состоят в существовании других объектов О, определенным образом связанных с ним. Б. состоит в том, что при изменении объекты Овозникают или исчезают (в частности, они могут сливаться друг с другом, или из одного объекта может "рождаться" несколько). См. ниже п. 1).

б) Сначала для объектов определяется, когда два таких объекта считаются эквивалентными. (Определение должно быть таким, чтобы у эквивалентных объектов все интересующие нас качественные свойства были одинаковыми.) Изменение качественных свойств в окрестности точки Б. , по определению, понимается в том смысле, что там имеются значения с неэквивалентными . См. ниже п. 2).

1) В теории операторов исходный объект это нелинейный оператор в действительном банаховом пространстве, с действительным параметром , определенный в окрестности точки и такой, что . Ему при каждом фиксированном сопоставляются другие объекты О - решения хнелинейного операторного уравнения . Точка В.это точка, в к-рои происходит рождение нового, нетривиального решения этого уравнения. Именно, это такая точка , что для любого существует при к-ром уравнение имеет решение , удовлетворяющее условиям Если , где A линейный вполне непрерывный оператор, то понятие точки Б. совпадает с понятием характери-стич. значения оператора А.

Если нелинейный вполне непрерывней оператор, непрерывно дифференцируемый в смысле Фреше и такой, что , то точками Б. оператора Ф могут служить лишь характеристич. значения оператора А. Топологич. методом (см. [1], [2]) установлено, что каждое нечетнократное (в частности, простое) характеристич. значение оператора Аявляется точкой Б. оператора Ф. Аналогичное достаточное условие для случая четнократных характеристических значений формулируется с помощью понятия вращения векторного поля.

Если неизолированное решение уравнения есть точка Б. оператора Ф. Вариационным методом доказано (см. [1], [2]), что если нелинейный вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве, являющийся градиентом слабо непрерывного функционала, а вполне непрерывный самосопряженный оператор, то каждое характеристич. значение оператора Аявляется точкой Б. оператора Ф. Понятие точки Б. видоизменяется также на случай больших решений при Важное значение этих понятий и результатов состоит в том, что при сравнительно слабых ограничениях удается установить ветвление решения в частности доказать неединственность решения нелинейной задачи. В ряде случаев более точную информацию дают аналитич. методы теории ветвления решений нелинейных уравнений (см. [5]).