Математическая энциклопедия - биномиальные коэффициенты

коэффициенты при степенях z в разложений Ньютона бинома . Б. к. обозначается или и равен

Обозначение восходит к Л. Эйлеру (L. Euler); второе обозначение появилось в 19 в. и связано, по-видимому, с интерпретацией Б. к. как числа различимых неупорядоченных сочетаний из Nразличных объектов по пв каждом сочетании. Б. к. наиболее удобно выписываются в виде арифметического треугольника, или Паскаля треугольника, построение к-рого основано на свойстве Б. к.

Как понятие Б. к., так и арифметич. треугольник в более или менее развитой форме были известны еще математикам древности, Б. Паскаль (В. Pascal) составил подробное исследование (1665) свойств Б. к. Кроме соотношения (2), имеется много других полезных соотношений между Б. к., напр.:

В частности, отсюда получается

Использование Стирлинга формулы позволяет получать приближенные выражения для Б. к. Напр., если Nмного больше п:

На случай любого комплексного числа Б. к. обобщаются по формуле

При этом нек-рые из соотношений (2) (4) сохраняются, но, вообще говоря, в измененном виде. Напр.,

Таблицы Б. к. см. [2], [3].

Лит.:[1] Кори Г., Корн Т., Справочник по математике, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; [2] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [3] Table of binomial coefficients, Cambridge, 1954. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985